Calculer une somme Exercice

S=\sum_{k=0}^{n}\left(-\dfrac{1}{6}k-\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{5} \times \left(\dfrac{5}{2}\right)^k\right)

On pose :

• \forall n \in \mathbb{N}, u_n=-\dfrac{1}{6}n-\dfrac{1}{3}
• \forall n \in \mathbb{N}, v_n=\dfrac{3}{5} \times \left(\dfrac{5}{2}\right)^n

On reconnaît que :

• La suite \left(u_n\right) est arithmétique de raison r=-\dfrac{1}{6} et de premier terme u_0=-\dfrac{1}{3}.
• La suite \left(v_n\right) est géométrique de raison q=\dfrac{5}{2} et de premier terme v_0=\dfrac{3}{5}.

On sait calculer la somme des termes consécutifs des suites arithmétiques et des suites géométriques. On transforme l'expression de S afin de faire apparaître ces deux types de sommes :

S=\sum_{k=0}^{n}\left(-\dfrac{1}{6}k-\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{5} \times \left(\dfrac{5}{2}\right)^k\right)

S=\sum_{k=0}^{n}\left(u_k+v_k\right)

S=u_0+v_0+u_1+v_1+...+u_n+v_n

On regroupe les termes respectifs de \left(u_n\right) et de \left(v_n\right) :

S=\left(u_0+u_1+...+u_n\right)+\left(v_0+v_1+...+v_n\right)

S=S_1+S_2, avec :

• S_1 la somme des termes consécutifs de la suite arithmétique \left(u_n\right)
• S_2 la somme des termes consécutifs de la suite géométrique \left(v_n\right)

On sait que la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par la formule :

S=\dfrac{\left(\text{Premier terme}+\text{Dernier terme}\right)\times\left(\text{Nombre de termes}\right)}{2}

Ici, on demande la somme pour k variant de 0 à n donc le nombre de termes vaut \left(n+1\right)

S_1=\dfrac{\left(u_0+u_n\right)\times\left(n+1\right)}{2}

Or, on sait que \forall n \in \mathbb{N}, u_n=-\dfrac{1}{6}n-\dfrac{1}{3}, et que u_0=-\dfrac{1}{3}

On obtient finalement :

S_1=\dfrac{\left(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}n\right)\times\left(n+1\right)}{2}

S_1=\dfrac{\left(-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}n\right)\times\left(n+1\right)}{2}

S_1=-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{12}n\right)\left(n+1\right)

On sait que la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique est donnée par la formule :

S=\text{Premier terme}\times \dfrac{1-q^{\text{Nombre de termes}}}{1-q}

Et, comme le premier terme demandé est u_0=\dfrac{3}{5} et que l'on a q=\dfrac{5}{2} :

S_2=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{1-\left(\dfrac{5}{2}\right)^{\text{Nombre de termes}}}{1-\dfrac{5}{2}}

Ici, on demande la somme pour k variant de 0 à n donc le nombre de termes vaut \left(n+1\right), on obtient donc :

S_2=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{1-\left(\dfrac{5}{2}\right)^{n+1}}{{-\dfrac{3}{2}}}

S_2=-\dfrac{2}{5}\times \left(1-\left(\dfrac{5}{2}\right)^{n+1}\right)

S=S_1+S_2

S=-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{12}n\right)\left(n+1\right)-\dfrac{2}{5}\times \left(1-\left(\dfrac{5}{2}\right)^{n+1}\right)