Déterminer le premier terme et la raison d'une suite géométrique Exercice

\left(u_n\right) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u_0, donc :

\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_0\times q^n

Or on sait que :

\begin{cases} u_1=2 \cr \cr u_3=32 \end{cases}

On remplace par l'expression de u_n et on obtient le système suivant :

\begin{cases} 2=u_0\times q \cr \cr 32=u_0 \times q^3 \end{cases}

Or on sait que q^3=q\times q^2, on obtient donc :

\begin{cases} 2=u_0\times q \cr \cr 32=u_0 \times q \times q^2 \end{cases}

Et, par substitution :

\begin{cases} 2=u_0\times q \cr \cr 32=2 \times q^2 \end{cases}

\begin{cases} 2=u_0\times q \cr \cr q^2 =\dfrac{32}{2} =16 \end{cases}

Or d'après l'énoncé, on sait que la raison est positive, on obtient donc :

\begin{cases} 2=u_0\times q \cr \cr q =4\end{cases}

\begin{cases} 2=u_0\times 4 \cr \cr q =4 \end{cases}

\begin{cases} u_0= \dfrac{2}{4} \cr \cr q =4\end{cases}

\begin{cases} u_0=\dfrac{1}{2} \cr \cr q =4 \end{cases}

\left(u_n\right) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u_0, donc :

\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_0\times q^n

Or on sait que :

\begin{cases} u_6=2 \cr \cr u_9=16 \end{cases}

On remplace par l'expression de u_n et on obtient le système suivant :

\begin{cases} 2=u_0\times q^6 \cr \cr 16=u_0 \times q^9 \end{cases}

Or on sait que q^9=q^6\times q^3, on obtient donc :

\begin{cases} 2=u_0\times q^6 \cr \cr 16=u_0 \times q^6 \times q^3 \end{cases}

Et, par substitution :

\begin{cases} 2=u_0\times q^6 \cr \cr 16=2 \times q^3 \end{cases}

\begin{cases} 2=u_0\times q^6 \cr \cr q^3 =8 \end{cases}

Or d'après l'énoncé, on sait que la raison est positive, on obtient donc :

\begin{cases} 2=u_0\times q^6 \cr \cr q =2 \end{cases}

\begin{cases} 2=u_0\times2^6 \cr \cr q =\dfrac{1}{2} \end{cases}

\begin{cases} u_0= \dfrac{1}{2^5} \cr \cr q =2 \end{cases}

\begin{cases} u_0=\dfrac{1}{32} \cr \cr q =2 \end{cases}