Associer sens de variation et tableau de signes de la dérivée d'une fonction Exercice

f′\leqslant0 sur I si et seulement si f est décroissante sur I et f′\geqslant0 sur I si et seulement si f est croissante sur I.

L'affirmation est donc fausse.

On rappelle la propriété liant le signe de la dérivée d'une fonction et les variations de cette fonction : 

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I inclus dans son ensemble de définition.

• f'\geq0 sur I si et seulement si f est croissante sur I.
• f'\leq0 sur I si et seulement si f est décroissante sur I.
• f' est nulle sur I si et seulement si f est constante sur I.

 

Les deux bonnes réponses sont donc :

• f est croissante dans les intervalles où sa dérivée est positive et décroissante dans les intervalles où celle-ci est négative.
• f est constante dans les intervalles où sa dérivée est nulle.

Lorsque l'on passe à des inégalités strictes sur le signe de f', il faut aussi qualifier les variations des strictes.

La propriété générale peut donc aussi s'écrire :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I inclus dans son ensemble de définition.

• f′\lt0 sur I si et seulement si f est strictement décroissante sur I.
• f'\gt0 sur I si et seulement si f est strictement croissante sur I.
• f' est nulle sur I si et seulement si f est constante sur I.

 

Les deux bonnes réponses sont donc :

• f′\lt0 sur I si et seulement si f est strictement décroissante sur I.
• f′\gt0 sur I si et seulement si f est strictement croissante sur I.