Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}^* \backslash \left\{-2 \right\} :
f(x) = \frac{\frac{2}{x}}{-2x-4}
Sur quel intervalle la fonction f est-elle dérivable ?
La fonction f est un quotient de fonctions dérivables.
La fonction x \mapsto \dfrac{2}{x} est dérivable sur \mathbb{R}^* .
La fonction x \mapsto -2x-4 est dérivable sur \mathbb{R} .
De plus, elle s'annule en x=-2, c'est donc une valeur interdite de la fonction f .
( f \) est donc dérivable sur \mathbb{R}^* \backslash \left\{-2 \right\} .
Quelle est la fonction dérivée de la fonction f ?
f est un quotient de fonctions dérivables de la forme f = \dfrac{u}{v} avec :
u(x) = \dfrac{2}{x} donc u'(x) = -\dfrac{2}{x^2}
Et,
v(x) = -2x-4 donc v'(x) = -2
D'après le cours, f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} donc :
f'(x) = \dfrac{ \left( -\dfrac{2}{x^2} \right) \times (-2x-4) - \left(\dfrac{2}{x} \right) \times (-2) }{(2x+4)^2}
f'(x) = \dfrac{2}{x} \dfrac{ \left( (2x+4) \dfrac{1}{x} \right)+ 2 }{(2x+4)^2}
En simplifiant les 2 :
f'(x) = \dfrac{1}{x} \dfrac{ \left( (x+2) \dfrac{1}{x} + \dfrac{x}{x} \right) }{(x+2)^2}
f'(x) = \dfrac{ \left( 2x+2 \right) }{x^2(x+2)^2}
La fonction dérivée de la fonction f est donc f'(x) = \dfrac{ \left( 2(x+1) \right) }{x^2(x+2)^2} .
Sur quel intervalle a-t-on f' < 0 ?
f'(x) = \dfrac{ \left( 2x+2 \right) }{x^2(x+2)^2}
f' est du signe de 2x +2 , car le dénominateur est toujours positif.
f'(x) < 0 \Leftrightarrow 2x +2 < 0
f'(x) < 0 \Leftrightarrow 2x < -2
f'(x) < 0 \Leftrightarrow x < -1
f' est donc négative sur ]-\infty ; -1[ .
Quel est le tableau de variations de f ?
f' est négative sur \left] -\infty ; -1 \right[ .
Or, la fonction f est décroissante lorsque sa dérivée est négative.
Le tableau de variations de f est donc le suivant :
