Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} avec f'' sa dérivée seconde et f' sa dérivée.
On a le tableau de signes suivant :
On précise de plus que f'(5) = 0 , f'(-1) = -1, f'(2)=-4, \lim\limits_{x \to -\infty} f'(x) = -3 et \lim\limits_{x \to +\infty} f'(x) = 2.
Quel est le tableau de variations de f' ?
On sait que f''\\ est positive sur ]-\infty ; -1], négative sur [-1 ; 2] et positive sur [2 ; +\infty[.
f'' étant la dérivée de f', on peut en déduire que f' est croissante sur ]-\infty ; -1], décroissante sur [-1 ; 2] et croissante sur [2 ; +\infty[.
De plus, on sait que f'(-1) = -1, f'(2)=-4, \lim\limits_{x \to -\infty} f'(x) = -3 et \lim\limits_{x \to +\infty} f'(x) = 2.
D'où le tableau de variations de f' :
Quel est le tableau de signes de f' sur \mathbb{R} ?
D'après la question précédente, on sait que :
- f' est croissante sur ] - \infty ; -1] avec \lim\limits_{x \to - \infty} f'(x) = -3 et f'(-1) = -1. f' est donc strictement négative sur ] - \infty ; -1].
-
f' est décroissante sur [ - 1 ; 2], d'où f' est strictement négative sur [ - 1 ; 2].
-
f' est croissante sur [2 ; + \infty[ avec \lim\limits_{x \to + \infty} f'(x) = 2 et f'(5) = 0. f' est donc négative sur [2 ; 5] et positive sur [5 ; + \infty[.
Le tableau de signes de f' est donc :
Parmi les propositions suivantes, quelle affirmation est vraie ?
D'après la question précédente, on sait que f' est négative sur ] - \infty ; 5], s'annule pour x=5 et est positive sur [5 ; + \infty[.
f' étant la dérivée de f sur \mathbb{R}, on en déduit donc :
f est décroissante sur ]- \infty ; 5] et croissante sur [5 ; + \infty [.
On considère que \lim\limits_{x \to - \infty} f(x) = 0, \lim\limits_{x \to + \infty} f(x) = + \infty et f(5) = -5.
Quel est alors le tableau de variations de f ?
On a montré que f est décroissante sur ]- \infty ; 5] et croissante sur [5 ; + \infty [.
Ainsi, avec les données de l'énoncé, on peut dresser le tableau de variations de f.
