Dans chacun des cas suivants, déterminer le tableau de variations de la fonction f.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (x + 3)^2
Détermination de f'(x)
Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (x + 3)^2
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^2
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(x+3)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=2x
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=2(x+3)
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=2x+6
Étude du signe de f'(x)
On a :
f'(x)\gt0
\Leftrightarrow 2x+6\gt0
\Leftrightarrow 2x\gt-6
\Leftrightarrow x\gt-3
De même :
f'(x)\lt0
\Leftrightarrow x\lt-3
Détermination des variations de f
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On en conclut donc le tableau de variations de f :
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (2x + 5)^2
Détermination de f'(x)
Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (2x + 5)^2
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^2
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(2x+5)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=2x
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=2 \times 2(2x+5)
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=8x+20
Étude du signe de f'(x)
On a :
f'(x)\gt0
\Leftrightarrow 8x+20\gt0
\Leftrightarrow 8x\gt-20
\Leftrightarrow x\gt-\dfrac{5}{2}
De même :
f'(x)\lt0
\Leftrightarrow x\lt-\dfrac{5}{2}
Détermination des variations de f
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On en conclut donc le tableau de variations de f :
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (4x - 2)^2
Détermination de f'(x)
Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (4x-2)^2
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^2
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(4x-2)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=2x
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=4\times2(4x-2)
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=32x-16
Étude du signe de f'(x)
On a :
f'(x)\gt0
\Leftrightarrow 32x-16\gt0
\Leftrightarrow 32x\gt16
\Leftrightarrow x\gt \dfrac{16}{32}
\Leftrightarrow x\gt \dfrac{1}{2}
De même :
f'(x)\lt0
\Leftrightarrow x\lt \dfrac{1}{2}
Détermination des variations de f
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On en conclut donc le tableau de variations de f :
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (-3x + 1)^2
Détermination de f'(x)
Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (-3x + 1)^2
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^2
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(-3x+1)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=2x
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-3 \times 2(-3x+1)
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=18x-6
Étude du signe de f'(x)
On a :
f'(x)\gt0
\Leftrightarrow 18x-6\gt0
\Leftrightarrow 18x\gt6
\Leftrightarrow x\gt \dfrac{6}{18}
\Leftrightarrow x\gt \dfrac{1}{3}
De même :
f'(x)\lt0
\Leftrightarrow x\lt \dfrac{1}{3}
Détermination des variations de f
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On en conclut donc le tableau de variations de f :
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (-x -4)^2
Détermination de f'(x)
Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (-x-4)^2
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^2
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(-x-4)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=2x
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-1 \times 2(-x-4)
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)= 2x + 8
Étude du signe de f'(x)
On a :
f'(x)\gt0
\Leftrightarrow 2x+8 \gt0
\Leftrightarrow 2x\gt-8
\Leftrightarrow x\gt-4
De même :
f'(x)\lt0
\Leftrightarrow x\lt-4
Détermination des variations de f
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On en conclut donc le tableau de variations de f :
