Étudier les variations d'une fonction affine composée par une fonction puissance Exercice

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (2x - 1)^5 

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^5

On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(2x-1)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=5x^4

Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=2\times5(2x-1)^4
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=10(2x-1)^4

\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=10(2x-1)^4

Soit :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=10((2x-1)^2)^2

Un carré est toujours positif, donc :
\forall x \in \mathbb{R}, ((2x-1)^2)^2\geqslant 0

Et :
\forall x \in \mathbb{R}, 10((2x-1)^2)^2\geqslant 0

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)\geqslant 0

Une fonction dérivable est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R},  f(x) = (-x - 2)^3 

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^3

On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(-x-2)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=3x^2

Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-1 \times 3(-x-1)^2
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-3(-x-1)^2

\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-3(-x-1)^2

Un carré est toujours positif, donc :
\forall x \in \mathbb{R}, (-x-1)^2\geqslant 0

Et :
\forall x \in \mathbb{R}, -3(-x-1)^2\leqslant 0

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)\leqslant 0

Une fonction dérivable est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative. 

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (4x +1)^3 

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^3

On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(4x+1)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=3x^2

Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=4 \times 3(4x+1)^2
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=12(4x+1)^2

\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=12(4x+1)^2

Un carré est toujours positif, donc :
\forall x \in \mathbb{R}, (4x+1)^2\geqslant 0

Et :
\forall x \in \mathbb{R}, 12(4x+1)^2\geqslant 0

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)\geqslant 0

Une fonction dérivable est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (-2x + 1)^6 

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^6

On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(-2x+1)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=6x^5

Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-2 \times 6(-2x+1)^5
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-12(-2x+1)^5

\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-12(-2x+1)^5

Soit :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-12(-2x+1)^4 (-2x+1)

Un carré est toujours positif, donc :
\forall x \in \mathbb{R},  (-2x+1)^4 \geqslant 0

Et :
\forall x \in \mathbb{R}, -12 (-2x+1) \geqslant 0 \Leftrightarrow (-2x+1) \leqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant \dfrac{1}{2}

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)\geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant \dfrac{1}{2}

Une fonction dérivable est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (3x + 1)^4 

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^4

On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(3x+1)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=4x^3

Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=3 \times 4(3x+1)^3
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=12 (3x+1)^3

\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=12 (3x+1)^3

Soit :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=12 (3x + 1)^2 (3x + 1)

Un carré est toujours positif, donc :
\forall x \in \mathbb{R}, 12 (3x + 1)^2 (3x + 1) \geqslant 0 \Leftrightarrow 12 (3x + 1) \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant -\dfrac{1}{3}

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)\geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant -\dfrac{1}{3}

Une fonction dérivable est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.