Résoudre un problème d'optimisation analytique à l'aide de l'étude des extremums d'une fonction dérivableProblème

À partir d'une feuille de papier de largeur L et de longueur l , on découpe 4 carrés de largeur x dans chacun des coins pour construire une boîte comme indiqué sur la figure.

Il s'agit de choisir x pour construire la boîte de volume maximal. On précise que  x\in\left] 0 ; \dfrac{\min\left(L ; l\right)}{2} \right[.

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Quelle est l'expression du volume V de la boîte en fonction de x ?

Quelle est la dérivée du volume V  ?

Quelle est l'expression de V' en prenant L = 5 et l = 2 ?

Pour quelles valeurs de x a-t-on V'(x) = 0 ?

Quelle valeur de x faut-il choisir pour que le volume de la boîte soit maximal ? Quel est alors le volume de la boîte ?

On considère à partir de cette question que x\in\left] 0 ; 1 \right[.