Quelles sont les variations de la fonction f définie par :
f(x) = \sqrt{4x+3}
La fonction f est définie par :
f(x) = \sqrt{4x+3}
La fonction racine carrée est définie sur \mathbb{R}_+ et dérivable sur \mathbb{R}_+^* .
Donc f est définie sur [\frac{-3}{4}; + \infty [ et dérivable sur ]\frac{-3}{4}; + \infty [ .
f est une fonction affine composée par la fonction racine carrée.
On peut écrire f sous la forme :
f(x) = g(4x+3)
Avec g(x) = \sqrt{x}
Donc :
f'(x) = 4g'(4x+3)
Avec g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Donc :
f'(x) = \dfrac{2}{\sqrt{4x+3}}
Or :
\forall x \in ]\frac{-3}{4}; + \infty [, \sqrt{4x+3} \gt 0
Par conséquent :
\forall x \in ]\frac{-3}{4}; + \infty [, f'(x) \gt 0
On en déduit que :
Quelles sont les variations de la fonction f définie par :
f(x) = \dfrac{-2}{3x+6}
La fonction f est définie par :
f(x) = \dfrac{-2}{3x+6}
La fonction inverse est définie sur \mathbb{R}^* et dérivable sur \mathbb{R}^* .
Donc f est définie et dérivable sur \mathbb{R}\backslash \{-2\} .
f est une fonction affine composée par la fonction inverse.
On peut écrire f sous la forme :
f(x) = g(3x+6)
Avec g(x) = \dfrac{-2}{x}
Donc :
f'(x) = 3g'(3x+6)
Avec g'(x) = \dfrac{2}{x^2}
Donc :
f'(x) = \dfrac{6}{(3x+6)^2}
Or, (3x+6)^2 est toujours positif.
Donc \dfrac{6}{(3x+6)^2} est toujours positif.
Donc f'(x) est toujours positif.
Donc f est strictement croissant.
On en déduit que :
Quelles sont les variations de la fonction f définie par :
f(x) = (2x+2)^2
La fonction f est définie par :
f(x) = (2x+2)^2
La fonction carré est définie sur \mathbb{R} et dérivable sur \mathbb{R} .
Donc f est définie sur \mathbb{R} et dérivable sur \mathbb{R} .
f est une fonction affine composée par la fonction carré.
On peut écrire f sous la forme :
f(x) = g(2x+2)
Avec g(x) = x^2
Donc :
f'(x) = 2g'(2x+2)
Avec g'(x) = 2x
Donc :
f'(x) = 4(2x+2)
Or :
4(2x+2) \ gt 0 \Leftrightarrow x \gt -1
On en déduit que :
Quelles sont les variations de la fonction f définie par :
f(x) = (4x-5)^3
La fonction f est définie par :
f(x) = (4x-5)^3
La fonction cube est définie sur \mathbb{R} et dérivable sur \mathbb{R} .
Donc f est définie sur \mathbb{R} et dérivable sur \mathbb{R} .
f est une fonction affine composée par la fonction cube.
On peut écrire f sous la forme :
f(x) = g(4x-5)
Avec g(x) = x^3
Donc :
f'(x) = 4g'(4x-5)
Avec g'(x) = 3x^2
Donc :
f'(x) = 12(4x-5)^2
Or :
12(4x-5)^2 est toujours positif.
On en déduit que :
Quelles sont les variations de la fonction f définie par :
f(x) = -(7x+6)^3
La fonction f est définie par :
f(x) = -(7x+6)^3
La fonction cube est définie sur \mathbb{R} et dérivable sur \mathbb{R} .
Donc f est définie sur \mathbb{R} et dérivable sur \mathbb{R} .
f est une fonction affine composée par la fonction cube.
On peut écrire f sous la forme :
f(x) = g(7x+6)
Avec g(x) = -x^3
Donc :
f'(x) = 7g'(7x+6)
Avec g'(x) = -3x^2
Donc :
f'(x) = -21(7x+6)^2
Or :
21(7x+6)^2 est toujours positif.
Donc f'(x) est toujours négatif.
On en déduit que :
