Étudier les variations d'une fonction affine composée par une fonction inverse Exercice

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{3}{2}\right\}, f(x) = \dfrac{1}{2x - 3}

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g(x)=\dfrac{1}{x}

On a :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{3}{2}\right\}, f(x)=g(2x-3)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}^* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g'(x)=-\dfrac{1}{x^2}

Donc :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{3}{2}\right\}, f'(x)=-\dfrac{2}{(2x-3)^2}

Un carré est toujours positif, donc :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{\dfrac{3}{2} \right\}, (2x-3)^2\geqslant0

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{\dfrac{3}{2} \right\}\), -\dfrac{2}{(2x-3)^2}\leqslant 0

Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)\leqslant0

Une fonction dérivable est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{3}{5}\right\}, f(x) = \dfrac{1}{5x - 3}

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g(x)=\dfrac{1}{x}

On a :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{3}{5}\right\}, f(x)=g(5x-3)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}^* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g'(x)=-\dfrac{1}{x^2}

Donc :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{3}{5}\right\}, f'(x)=-\dfrac{5}{(5x-3)^2}

Un carré est toujours positif, donc :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{\dfrac{3}{5} \right\}, (5x-3)^2\geqslant0

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{\dfrac{3}{5} \right\}, -\dfrac{5}{(5x-3)^2}\leqslant 0

Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)\leqslant0

Une fonction dérivable est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{1}{4}\right\}, f(x) = \dfrac{1}{4x - 1}

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g(x)=\dfrac{1}{x}

On a :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{3}{2}\right\}, f(x)=g(4x-1)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}^* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g'(x)=-\dfrac{1}{x^2}

Donc :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{3}{2}\right\}, f'(x)=-\dfrac{4}{(4x-1)^2}

Un carré est toujours positif, donc :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{\dfrac{1}{4} \right\}, (4x-1)^2\geqslant0

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{\dfrac{1}{4} \right\}, -\dfrac{4}{(4x-1)^2}\leqslant 0

Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)\leqslant0

Une fonction dérivable est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{1}{3}\right\}, f(x) = \dfrac{1}{-3x +1}

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g(x)=\dfrac{1}{x}

On a :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{1}{3}\right\}, f(x)=g(-3x+1)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}^* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g'(x)=-\dfrac{1}{x^2}

Donc :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{1}{3}\right\}, f'(x)=-\dfrac{-3}{(-3x+1)^2}
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{1}{3}\right\}, f'(x)=\dfrac{3}{(-3x+1)^2}

Un carré est toujours positif, donc :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{\dfrac{1}{3} \right\}, (-3x+1)^2\geqslant0

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{\dfrac{1}{3} \right\}, \dfrac{3}{(-3x+1)^2}\geqslant 0

Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)\geqslant0

Une fonction dérivable est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}, f(x) = \dfrac{1}{-2x - 1}

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g(x)=\dfrac{1}{x}

On a :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}, f(x)=g(-2x-1)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}^* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^*, g'(x)=-\dfrac{1}{x^2}

Donc :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}, f'(x)=-\dfrac{-2}{(-2x-1)^2}
\forall x \in \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}, f'(x)=\dfrac{2}{(-2x-1)^2}

Un carré est toujours positif, donc :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{-\dfrac{1}{2} \right\}, (-2x-1)^2\geqslant0

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{-\dfrac{1}{2} \right\}, \dfrac{2}{(-2x-1)^2}\geqslant 0

Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)\geqslant0

Une fonction dérivable est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.