Étudier les zéros d'une fonction à l'aide de la méthode de Newton dans un cas favorableProblème

On souhaite calculer une approximation de \sqrt{2} à l'aide de la méthode de Newton.

De quelle fonction dérivable sur \mathbb{R} \sqrt{2} est-elle un zéro ?

Quelle est l'équation de la tangente au point x_0 \in \mathbb{R} de la fonction f(x) = x^2 − 2  ?

En quel point la tangente à la fonction f(x) = x^2 − 2 en x_0 coupe-t-elle l'axe des abscisses ?

Soit un point u_0 \in \mathbb{R} .

On appelle (u_1, 0) l'intersection de la tangente au graphe de f(x) = x^2 − 2 en (u_0, f(u_0)) avec l'axe des abscisses.
Si u_1 \in \mathbb{R} , alors on recommence l'opération avec la tangente au point d'abscisse u_1 .

Quelle est la suite récurrente qui correspond à ce processus ?
Cette suite correspond à la méthode de Newton. On admet qu'elle converge vers \sqrt{2} .

Quelle est la valeur de u_3 u est la suite définie par la méthode de Newton qui converge vers le zéro de f(x) = x^2 − 2  en prenant u_0 = 4  ?