Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}^* :
f(x) = (3x+2)^2+7x^3+\dfrac{4}{x} - 9x^2
Sur quel intervalle la fonction f est-elle dérivable ?
La fonction f est une somme de fonctions dérivables.
Les fonctions x \mapsto (3x+2)^2 , x \mapsto 7x^3 et x \mapsto -9x^2 sont dérivables sur \mathbb{R} .
La fonction x \mapsto \dfrac{4}{x} n'est pas dérivable en 0.
f est donc dérivable sur \mathbb{R}^* .
Quelle est la fonction dérivée de la fonction f ?
La dérivée de f est la somme des dérivées qui composent la somme.
f'(x) = ((3x+2)^2)'+(7x^3)'+\left( \dfrac{4}{x} \right)' - (9x^2)'
f'(x) = 2 \times 3 (3x+2) + 3 \times 7 x^2 -\dfrac{4}{x^2} - 18x
f'(x) = 6 (3x+2) + 21 x^2 -\dfrac{4}{x^2} - 18x
Donc : f'(x) = 12 + 21 x^2 -\dfrac{4}{x^2}
Quelles sont les racines du polynôme 21X^2 + 12X - 4 ?
Pour calculer les racines d'un polynôme du second degré, il faut d'abord calculer son discriminant.
Le discriminant \Delta d'une fonction du second degré f(x) = ax^2 + bx + c est le nombre réel :
\Delta = b^2 - 4ac
Ici :
(E) : 21X^2 + 12X - 4
Donc :
\Delta = (12)^2 - 4 \times 21 \times (-4)
\Delta = 480 = (4 \sqrt{30})^2
Comme \Delta > 0 , le trinôme admet deux racines distinctes, notées x_{1} et x_{2} :
- x_{1} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
- x_{2} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
En remplaçant par les valeurs numériques :
x_1 = \dfrac{-12 + \sqrt{480}}{42}
x_1 = \dfrac{-12}{42} + \dfrac{4\sqrt{30}}{42}
x_1 = -\dfrac{2}{7} + \dfrac{2\sqrt{\dfrac{10}{3}}}{7}
Et :
x_2 = \dfrac{-12 - \sqrt{480}}{42}
x_2 = \dfrac{-12}{42} - \dfrac{4\sqrt{30}}{42}
x_2 = -\dfrac{2}{7} - \dfrac{2\sqrt{\dfrac{10}{3}}}{7}
Donc : S = \left\{ -\dfrac{2}{7} - \dfrac{2 \sqrt{\dfrac{10}{3}}}{7} ; -\dfrac{2}{7} + \dfrac{2 \sqrt{\dfrac{10}{3}}}{7} \right\}
Sur quel intervalle a-t-on f' < 0 ?
On cherche à déterminer le signe de la fonction f'(x) = 12 + 21 x^2 -\dfrac{4}{x^2} .
En mettant tous les termes au même dénominateur, f' s'écrit :
f'(x) = \dfrac{21x^4 + 12x^2 - 4}{x^2}
f' est donc du signe de 21x^4 + 12x^2 - 4 .
En effectuant le changement de variable X = x^2 l'expression précédente se ramène au polynôme du second degré (E) : 21X^2 + 12X - 4 .
Trouver les racines de (E)
Les racines de ce polynôme sont :
X \in \left\{ -\dfrac{2}{7} - \dfrac{2 \sqrt{\dfrac{10}{3}}}{7} ; -\dfrac{2}{7} + \dfrac{2 \sqrt{\dfrac{10}{3}}}{7} \right\}
Trouver les racines de f'
Comme X = x^2 , pour déterminer les solutions de f' on résout les équations suivantes :
x^2 = -\dfrac{2}{7} - \dfrac{2 \sqrt{\dfrac{10}{3}}}{7} qui n'a pas de solution car x^2 est toujours positif et -\dfrac{2}{7} - \dfrac{2 \sqrt{\dfrac{10}{3}}}{7} < 0
Et :
x^2 = -\dfrac{2}{7} + \dfrac{2 \sqrt{\dfrac{10}{3}}}{7}
\Leftrightarrow x = -\sqrt{ -\dfrac{2}{7} - \dfrac{2 \sqrt{\dfrac{10}{3}}}{7} } ou x = \sqrt{-\dfrac{2}{7} - \dfrac{2 \sqrt{\dfrac{10}{3}}}{7}}
Déduire le signe de f'
f' < 0 à l'intérieur des racines.
Donc : f' < 0 \Leftrightarrow x \in \left] - \sqrt{ -\dfrac{2}{7} + \dfrac{2 \sqrt{\dfrac{10}{3}}}{7} } ; \sqrt{ -\dfrac{2}{7} + \dfrac{2 \sqrt{\dfrac{10}{3}}}{7} } \right[
Quel est le tableau de variations de f ?
f' est négative sur \left] - \sqrt{ -\dfrac{2}{7} + \dfrac{2 \sqrt{\dfrac{10}{3}}}{7} } ; \sqrt{ -\dfrac{2}{7} + \dfrac{2 \sqrt{\dfrac{10}{3}}}{7} } \right[ .
Or, la fonction f est décroissante lorsque sa dérivée est négative.
Le tableau de variations de f est donc le suivant :
