De quelle fonction f peut-on étudier le signe afin de résoudre chacune des inégalités suivantes ?
(I) : 2x \geqslant (3x^3 + 4)
On résout :
2x \geqslant (3x^3 + 4)
\Leftrightarrow 2x - (3x^3 + 4) \geqslant 0
\Leftrightarrow - 3x^3 +2x-4 \geqslant 0
Afin de résoudre (I), on peut étudier le signe de la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = -3x^3+2x-4
(I): \dfrac{1}{x} \geq 2x - 1
On résout :
\dfrac{1}{x}\geqslant 2x - 1
\Leftrightarrow 2x - 1 - \dfrac{1}{x} \leqslant 0
\Leftrightarrow \dfrac{2x^2 - x - 1}{x} <= 0
Afin de résoudre (I), on peut donc étudier le signe de la fonction f définie par :
f(x) = \dfrac{2x^2 - x - 1}{x}
(I):\dfrac{1}{x} - \sqrt{x} >= 2
On résout :
\dfrac{1}{x} - \sqrt{x} >= 2 \Leftrightarrow \dfrac{1 - x\sqrt{x} - 2x }{x} >= 0
On peut étudier f(x) = \dfrac{1 - x\sqrt{x} - 2x }{x}.
Afin de résoudre (I), on peut donc étudier le signe de la fonction f définie par :
f(x) = \dfrac{1 - x\sqrt{x} - 2x }{x}
(I): \dfrac{2x}{x^2 + 1} >= 3x + 1
On a :
\dfrac{2x}{x^2 + 1} >= 3x + 1 \Leftrightarrow \dfrac{2x - 3x(x^2 + 1) - (x^2 + 1)}{x^2 + 1} >= 0
\dfrac{2x}{x^2 + 1} >= 3x + 1 \Leftrightarrow \dfrac{2x - 3x^3 -3x - x^2 -1 }{x^2 + 1} >= 0
\dfrac{2x}{x^2 + 1} >= 3x + 1 \Leftrightarrow \dfrac{- 3x^3 - x^2 -x -1 }{x^2 + 1} >= 0
On peut étudier f(x) =\dfrac{- 3x^3 - x^2 -x -1 }{x^2 + 1} .
Afin de résoudre (I), on peut donc étudier le signe de la fonction f définie par :
f(x) =\dfrac{- 3x^3 - x^2 -x -1 }{x^2 + 1}
(I): \dfrac{x+1}{\sqrt{x - 1}} >= x-2
On a :
\dfrac{x+1}{\sqrt{x - 1}} >= x-2 \Leftrightarrow \dfrac{x+1 - (x-2)\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}} >= 0
On peut étudier f(x) = \dfrac{x+1 - (x-2)\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}.
Afin de résoudre (I), on peut donc étudier le signe de la fonction f définie par :
f(x) = \dfrac{x+1 - (x-2)\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}