Donner la valeur optimale d'une fonction pour une situation donnée à l'aide de son tableau de variationsExercice

Déterminer la valeur permettant d'optimiser les problèmes suivants.

Un particulier désire construire sa maison sur un terrain trapézoïdal rectangle en A et B.

On le représente par le quadrilatère ABCD et on a :
AB = 40 \text{ m}
AD = 30 \text{ m}
BC = 10 \text{ m}

La base de la maison occupe le rectangle AMNP.
On note x la longueur AM en m et \mathcal{A} (x) l'aire du rectangle AMNP en m2.

Quelle est l'aire maximale du rectangle AMNP ?

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On donne le tableau de variations de la fonction \mathcal{A} :

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Il est demandé de construire une boîte rectangulaire (parallélépipède) à partir d'une feuille de longueur 20 cm et de largeur 10 cm. 

Il s'agit de découper les angles pour former les languettes qui seront collées pour renforcer les côtés de la boîte.

Quel sera le volume maximum de la boîte ?

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Le volume V(h) de la boîte en fonction de sa hauteur h est donnée par la courbe suivante :

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On donne le tableau de variations de la fonction V :

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On lance une balle en l'air avec une vitesse v_0 et un angle \alpha avec la verticale, et on note son altitude h(t) au cours des rebonds sur le sol.

Quelle est l'altitude maximale que la balle atteint ?

On donne le tableau de variations de la fonction h :

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On considère le rectangle EFGH de longueur 8 cm et de largeur 4 cm.
Soient A un point appartenant à [HG], B un point appartenant à [HE] et C un point appartenant à [EF] tels que HA=HB=x \text{ cm} et CF=1\text{ cm}.
On note \mathcal{A}(x) l'aire du triangle ABC.

Pour quelle valeur de x l'aire du triangle ABC est-elle maximale ?

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On donne le tableau de variations de la fonction \mathcal{A} :

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ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=3, AC=4 et BC=5.
M est un point mobile de l'hypoténuse [BC], on note CM = x.
N et P sont les projetés orthogonaux respectifs de M sur les côtés [AB] et [AC].

On note f(x) la longueur NP.

Quelle est la distance NP minimale ?

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On donne le tableau de variations de la fonction  f :

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