Dans chacun des cas suivants, déterminer le tableau de variations de la fonction f.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (x - 3)^3
Calcul de f'(x)
Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (x - 3)^3
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^3
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(x-3)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=3x^2
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=3(x-3)^2
Étude du signe de f'(x)
Un carré est toujours positif, donc :
\forall x \in \mathbb{R}, (x-3)^2\geqslant0
Et :
\forall x \in \mathbb{R}, 3(x-3)^2\geqslant0
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)\geqslant0
Détermination des variations de f
Une fonction dérivable est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On en conclut donc le tableau de variations de f :
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (-x + 4)^3
Calcul de f'(x)
Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (-x + 4)^3
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^3
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(-x+4)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=3x^2
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-1 \times 3(-x+4)^2
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=- 3(-x+4)^2
Étude du signe de f'(x)
Un carré est toujours positif, donc :
\forall x \in \mathbb{R}, (-x+4)^2\geqslant0
Et :
\forall x \in \mathbb{R}, -3(-x+4)^2\leqslant0
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)\leqslant0
Détermination des variations de f
Une fonction dérivable est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On en conclut donc le tableau de variations de f :
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (2x + 1)^3
Calcul de f'(x)
Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (2x + 1)^3
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^3
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(2x+1)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=3x^2
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=2 \times 3(2x+1)^2
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=6(2x+1)^2
Étude du signe de f'(x)
Un carré est toujours positif, donc :
\forall x \in \mathbb{R}, (2x+1)^2\geqslant0
Et :
\forall x \in \mathbb{R}, 6(2x+1)^2\geqslant0
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)\geqslant0
Détermination des variations de f
Une fonction dérivable est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On en conclut donc le tableau de variations de f :
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (-3x + 1)^3
Calcul de f'(x)
Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (-3x + 1)^3
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^3
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(-3x+1)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=3x^2
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-3 \times 3 (-3x + 1)^2
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-9 (-3x + 1)^2
Étude du signe de f'(x)
Un carré est toujours positif, donc :
\forall x \in \mathbb{R}, (-3x+1)^2\geqslant0
Et :
\forall x \in \mathbb{R}, -9(-3x+1)^2\leqslant0
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)\leqslant0
Détermination des variations de f
Une fonction dérivable est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On en conclut donc le tableau de variations de f :
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (2x- 4)^3
Calcul de f'(x)
Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (2x - 4)^3
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x^3
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(2x-4)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=3x^2
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=2 \times 3(2x-4)^2
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=6(2x-4)^2
Étude du signe de f'(x)
Un carré est toujours positif, donc :
\forall x \in \mathbb{R}, (2x-4)^2\geqslant0
Et :
\forall x \in \mathbb{R}, 6(2x-4)^2\geqslant0
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)\geqslant0
Détermination des variations de f
Une fonction dérivable est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On en conclut donc le tableau de variations de f :
