Étudier les variations d'une fonction affine composée par une fonction racine carrée Exercice

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \left[\dfrac{1}{2};+\infty\right[, f(x) = \sqrt{2x - 1}

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}^+, g(x)=\sqrt{x}

On a :
\forall x \in \left[\dfrac{1}{2};+\infty\right[, f(x) = g(2x - 1)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}^+_* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Donc :
\forall x \in \left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[, f'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x-1}}
\forall x \in \left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[, f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}

Une racine carrée est toujours positive.
Ainsi :
\forall x \in \left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[, \sqrt{2x-1}\geqslant0

Et :
\forall x \in \left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[, \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}\geqslant 0

D'où :
\forall x \in \left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[, f'(x)\geqslant 0

Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \left[\dfrac{2}{3};+\infty\right[, f(x) = \sqrt{3x - 2}

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}^+, g(x)=\sqrt{x}

On a :
\forall x \in \left[\dfrac{2}{3};+\infty\right[, f(x) = g(3x - 2)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}^+_* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Donc :
\forall x \in \left]\dfrac{2}{3};+\infty\right[, f'(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x-2}}

Une racine carrée est toujours positive.
Ainsi :
\forall x \in \left]\dfrac{2}{3};+\infty\right[, \sqrt{3x-2}\geqslant0

Et :
\forall x \in \left]\dfrac{2}{3};+\infty\right[, \dfrac{1}{\sqrt{3x-2}}\geqslant 0

D'où :
\forall x \in \left]\dfrac{2}{3};+\infty\right[, f'(x)\geqslant 0

Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R} et a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \left]-\infty; -\dfrac{4}{3};\right[, f(x) = \sqrt{-3x - 4}

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}^+, g(x)=\sqrt{x}

On a :
\forall x \in \left]-\infty; -\dfrac{4}{3};\right[, f(x) = g(-3x - 4)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}^+_* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Donc :
\forall x \in \left]-\infty; -\dfrac{4}{3};\right[, f'(x)=\dfrac{-3}{2\sqrt{-3x-4}}

Une racine carrée est toujours positive.
Ainsi :
\forall x \in \left]-\infty; -\dfrac{4}{3};\right[, \sqrt{-3x-4}\geqslant0

Et :
\forall x \in \left]-\infty; -\dfrac{4}{3};\right[, \dfrac{-3}{2\sqrt{-3x-4}} \leqslant 0

D'où :
\forall x \in \left]-\infty; -\dfrac{4}{3};\right[, f'(x)\leqslant 0

Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R} et a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \left]-\infty; \dfrac{1}{2};\right[, f(x) = \sqrt{-2x +1}

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}^+, g(x)=\sqrt{x}

On a :
\forall x \in \left]-\infty; \dfrac{1}{2};\right[, f(x) = g(-2x +1)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}^+_* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Donc :
\forall x \in \left]-\infty; \dfrac{1}{2};\right[, f'(x)=\dfrac{-2}{2\sqrt{-2x+1}}

Une racine carrée est toujours positive.
Ainsi :
\forall x \in \left]-\infty; \dfrac{1}{2};\right[, \sqrt{-2x+1}\geqslant0

Et :
\forall x \in \left]-\infty; \dfrac{1}{2};\right[, \dfrac{-2}{2\sqrt{-2x+1}} \leqslant 0

D'où :
\forall x \in \left]-\infty; \dfrac{1}{2};\right[, f'(x)\leqslant 0

Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R} et a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \left]-\infty; \dfrac{1}{4};\right[, f(x) = \sqrt{-4x +1}

On pose :
\forall x \in \mathbb{R}^+, g(x)=\sqrt{x}

On a :
\forall x \in \left]-\infty; \dfrac{1}{4};\right[, f(x) = g(-4x +1)

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}^+_* et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Donc :
\forall x \in \left]-\infty; \dfrac{1}{4};\right[, f'(x)=\dfrac{-4}{2\sqrt{-4x+1}}

Une racine carrée est toujours positive.
Ainsi :
\forall x \in \left]-\infty; \dfrac{1}{4};\right[, \sqrt{-4x+1}\geqslant0

Et :
\forall x \in \left]-\infty; \dfrac{1}{4};\right[, \dfrac{-4}{2\sqrt{-4x+1}} \leqslant 0

D'où :
\forall x \in \left]-\infty; \dfrac{1}{4};\right[, f'(x)\leqslant 0

Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.