Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}_+^* :
f(x)=5\sqrt{x}-\dfrac{3}{x}
Sur quel intervalle la fonction f est-elle dérivable ?
La fonction f est une somme de fonctions dérivables.
La fonction x \mapsto 5\sqrt{x} est dérivable sur \mathbb{R}_+^* .
La fonction x \mapsto -\dfrac{3}{x} n'est pas dérivable en 0.
f est donc dérivable sur \mathbb{R}_+^* .
Quelle est la fonction dérivée de la fonction f ?
La dérivée de f est la somme des dérivées qui composent la somme.
f'(x) = (5\sqrt{x})' + \left( -\dfrac{3}{x} \right)'
f'(x) = \dfrac{5}{2\sqrt{x}} + \dfrac{3}{x^2}
Donc f'(x)=\dfrac{5x^{3/2}+6}{2x^2} .
Sur quel intervalle a-t-on f' > 0 ?
f'(x)=\dfrac{5x^{3/2}+6}{2x^2}
Comme 2x^2 est un carré, il est toujours positif. f' est donc du signe de 5x^{3/2}+6 .
Or, f est dérivable sur \mathbb{R_+^*} donc f' est définie sur \mathbb{R_+^*}.
On a donc \forall x\in\mathbb{R_+^*}, 5x^{\dfrac{3}{2}}+6\gt0.
f' est donc positive sur \mathbb{R_+^*}.
Quel est le tableau de variations de f ?
f' est positive sur \mathbb{R_+^*}.
Or, la fonction f est croissante lorsque sa dérivée est positive.
Le tableau de variations de f est donc :
