Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} \backslash \left\{-1 \right\} :
f(x) = \dfrac{(2x-1)(3x+1)}{(x+1)^2}
Sur quel intervalle la fonction f est-elle dérivable ?
La fonction f est un quotient de fonctions dérivables.
La fonction x \mapsto (2x-1)(3x+1) est dérivable sur \mathbb{R} .
La fonction x \mapsto (x+1)^2 est dérivable sur \mathbb{R} . De plus, elle s'annule en x=-1, c'est donc une valeur interdite de la fonction f .
f est donc dérivable sur \mathbb{R} \backslash \{-1\} .
Quelle est la fonction dérivée de la fonction f ?
f est un quotient de fonctions dérivables de la forme f = \dfrac{u}{v} avec :
u(x) = (2x-1)(3x+1) = 6x^2 -x -1 donc u'(x) = 12x - 1
Et, v(x) = (x+1)^2 donc v'(x) = 2(x+1)
D'après le cours, f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} donc :
f'(x) = \dfrac{ (12x - 1) \times (x+1)^2 - (2x-1)(3x+1) \times 2(x+1) }{\left(x+1 \right)^4}
En factorisant par (x+1) :
f'(x) = (x+1) \dfrac{ (12x - 1) \times (x+1) - 2 (2x-1)(3x+1) }{\left(x+1 \right)^4}
f'(x) = \dfrac{ 12x^2 + 12x -x -1 - 2 (6x^2 -x -1) }{\left(x+1 \right)^3}
f'(x) = \dfrac{ 12x^2 + 12x -x -1 -12x^2 + 2x + 2 }{\left(x+1 \right)^3}
La fonction dérivée de f est donc f'(x) = \dfrac{ 13x +1 }{\left(x+1 \right)^3} .
Quel est le tableau de signes de f' ?
f'(x) = \dfrac{ 13x +1 }{\left(x+1 \right)^3}
Il faut étudier les signes de 13x +1 et (x+1)^3 :
13x +1 < 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac{1}{13}
Et :
(x+1)^3 < 0 \Leftrightarrow x+1 < 0
(x+1)^3 < 0 \Leftrightarrow x < -1
On a donc le tableau de signes suivant :
Quel est le tableau de variations de f ?
f' est négative sur \left] -\dfrac{1}{13} ; -1 \right[ .
Or, la fonction f est décroissante lorsque sa dérivée est négative.
Le tableau de variations de f est donc le suivant :
