Variations et courbes représentatives de fonctions Cours

Sommaire

ISens de variationIIExtremums
I

Sens de variation

  • Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, inclus dans son ensemble de définition.
  • Si f'>0 sur I, sauf peut-être en un nombre fini de valeurs pour lesquelles f' s'annule, alors f est strictement croissante sur I.
  • Si f'<0 sur I, sauf peut-être en un nombre fini de valeurs pour lesquelles f' s'annule, alors f est strictement décroissante sur I.
  • Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.
  • Pour déterminer le sens de variation d'une fonction dérivable, on peut donc étudier le signe de sa fonction dérivée.
  • La réciproque de chacune des assertions précédentes est vraie.

Considérons la fonction carrée, notée f ici.

Elle est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, f'(x)=2x.

  • Sur ]0;+\infty[, f'(x)>0 et f'(0)=0, donc f est strictement croissante sur [0;+\infty[
  • Sur \(]-\infty;0[, f'(x)<0 et f'(0)=0, donc f est strictement décroissante sur ]-\infty;0].

 

On obtient donc le tableau de variations suivant :

-

On peut avoir une fonction dérivable sur son ensemble de définition, de dérivée nulle sur cet ensemble... mais qui n'est pas constante.

C'est en effet le cas si l'ensemble de dérivabilité n'est pas un intervalle, ou pour une fonction comme la fonction Partie Entière, par exemple.

Soit f la fonction définie par :

f(x)=\begin{cases}-1\text{ si }x\leq 0\\1\text{ si }x\geq 1\end{cases}

Alors, f est dérivable sur ]-\infty;0] et sur [1;+\infty[.

De plus, pour tout x\leq 0, f'(x)=0 et pour tout x\geq 1, f'(x)=0.

Et pourtant, la fonction f n'est pas constante.

II

Extremums

Extremums

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R} et c un nombre réel de I.

  • On dit que que f admet un maximum en c sur I si pour tout nombre réel x de I, f(x)\leq f(c).
  • On dit que f admet un minimum en c sur I si pour tout nombre réel x de I, f(x)\geq f(c).
  • On appelle extremum un maximum ou un minimum.

La fonction f, définie pour tout réel x par f(x)=1-x^2 admet un maximum de 1 en 0.

En effet, pour tout nombre réel x, x^2\geq 0

donc -x^2\leq 0,

et 1-x^2\leq 1.

De plus, f(0)=1−0^2=1.

On a donc bien, pour tout nombre réel x, f(x)\leq f(0)=1.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R} et c un nombre réel de I.

On dit que f admet un extremum local en c s'il existe un intervalle ouvert J, inclus dans I et contenant c tel que f(c) soit un maximum pour f sur J.

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I de \mathbb{R} et c un réel de I.

  • Si f(c) est un extremum local, alors f'(c)=0.
  • Si f' s'annule en c en changeant de signe, alors f(c) est un extremum local.

 

En classe de première, ce théorème est admis.

Reprenons la fonction carré, notée ici f. Elle admet un minimum local (en fait global) en 0.

On a bien f'(0)=0 avec f'(x)<0 pour x<0 et f'(x)>0 pour x>0.

Si la dérivée de f s'annule en c sans changer de signe, alors f(c) n'est pas un extremum pour f.

Notons f la fonction cube.

Pour tout réel x, on a f'(x)=3x^2.

Donc f'(0)=0.

Mais f(0) n'est ni un maximum ni un minimum pour la fonction cube.

Soit I un intervalle ouvert de \mathbb{R}, c un réel de I et f une fonction dérivable sur I.

Si f(c) est un extremum local pour la fonction f, alors la tangente à la courbe de f au point d'abscisse c a pour équation :

y=f(c)

Considérons la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(t)=\dfrac{1}{t^2+1}.

g=\dfrac{1}{v}, avec pour tout réel t, v(t)=t^2+1.

v est dérivable sur \mathbb{R} et ne s'annule pas sur \mathbb{R}.

g est donc dérivable sur \mathbb{R} et g'=\dfrac{-v'}{v^2}.

Pour tout réel t, v'(t)=2v, donc g'(t)=\dfrac{−2t}{t^2+1}.

Comme t^2+1>0 pour tout réel t, le signe de g'(t) est celui de −2t.

Soit t\in\mathbb{R}. On a −2t>0\Leftrightarrow t<0

On obtient donc le tableau de variations suivant :

-

g(0) est donc un maximum local (et même global).

Une équation de la tangente, T_0, à la courbe de g au point d'abscisse 0 est donc :

y=g(0), soit y=1.

On obtient le graphique suivant :

-