Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée de la fonction f.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp(-x+1)
Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp(-x +1)
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)= \exp(x)
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(-x+1)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)= \exp(x)
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-1\times \exp(-x+1)
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R} , f'(x) = - \exp(-x + 1) .
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp(3x)\exp(-x+1)
Comme \exp(x)\exp(y) = \exp(x+y) , pour tout x,y \in \mathbb{R} on peut réécrire :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp(3x)\exp(-x+1) = \exp(2x+1)
Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp(2x +1)
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)= \exp(x)
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(2x+1)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)= \exp(x)
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=2\times \exp(2x+1)
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=2 \exp(2x+1).
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp(-x+3)
Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp(-x +3)
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)= \exp(x)
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(-x+1)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)= \exp(x)
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = - \exp(-x + 3) .
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp(2x-4)
Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp(2x -4)
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)= \exp(x)
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(2x-4)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)= \exp(x)
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=2 \times \exp(2x-4).
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp(-8x+3)
Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp(-8x +3)
On pose :
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=\exp(x)
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(-8x+3)
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)=\exp(x)
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-8 \times \exp(-8x+3)
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-8 \exp(-8x+3).