Dans chacun des cas suivants, simplifier l'égalité proposée et déterminer l'ensemble S des solutions pour lesquelles l'égalité est vraie.
\text{exp}(2x) = \dfrac{\exp(3x+1)}{\exp(-2x)}
D'après le cours, on a :
\exp(a) = \dfrac{1}{\exp(-a)}
D'après l'équation, on obtient :
\exp(2x) \exp(-2x) = \exp(3x+1)
Donc, en appliquant le cours, on a :
1 =\exp(3x+1)
\exp(0) = \exp(3x+1)
3x+1 = 0
Cette égalité est donc vraie pour x = - \dfrac{1}{3} , soit :
S=\left\{x = -\dfrac{1}{3} \right\}
\exp(2x) \exp(-2x) = 1
D'après le cours, on a :
\exp(a) = \dfrac{1}{\exp(-a)}
Ici, on a :
\exp(2x) \exp(-2x) = 1
Or, en posant a=2x, on obtient :
\exp(a) \exp(-a) = 1
Soit :
\exp(a) = \dfrac{1}{\exp(-a)}
Or, l'égalité est vraie quel que soit le réel a, donc l'égalité est vraie quel que soit le réel x.
Cette égalité est donc toujours vraie, soit :
S=\mathbb{R}
\exp(x) = \dfrac{\exp(2x)}{\exp(-x)}
D'après le cours, on a :
\exp(a) = \dfrac{1}{\exp(-a)} \Leftrightarrow \exp(a)\exp(-a)=1
Ici, on a :
\exp(x) = \dfrac{\exp(2x)}{\exp(-x)} \Leftrightarrow \exp(x) \exp(-x) = \exp(2x)
Or, d'après le cours, on obtient :
\exp(x) = \dfrac{\exp(2x)}{\exp(-x)} \Leftrightarrow 1 = \exp(2x)
\exp(x) = \dfrac{\exp(2x)}{\exp(-x)} \Leftrightarrow \exp(0) = \exp(2x)
\exp(x) = \dfrac{\exp(2x)}{\exp(-x)} \Leftrightarrow 2x = 0
\exp(x) = \dfrac{\exp(2x)}{\exp(-x)} \Leftrightarrow x = 0
Cette expression est donc vraie pour x = 0, soit :
S=\left\{ x =0\right\}
\text{exp}(-x) = \dfrac{\exp(x^2 - 1)}{\exp(x)}
D'après le cours, on a :
\exp(a) = \dfrac{1}{\exp(-a)}
Or, on a :
\exp(-x) = \dfrac{\exp(x^2-1)}{\exp(x)} \Leftrightarrow \exp(-x) \exp(x) = \exp(x^2 - 1)
Donc d'après le cours, on obtient :
\exp(-x) = \dfrac{\exp(x^2-1)}{\exp(x)} \Leftrightarrow 1 = \exp(x^2 - 1)
\exp(-x) = \dfrac{\exp(x^2-1)}{\exp(x)} \Leftrightarrow \exp(0) = \exp(x^2 - 1)
\exp(-x) = \dfrac{\exp(x^2-1)}{\exp(x)} \Leftrightarrow x^2 - 1 = 0
\exp(-x) = \dfrac{\exp(x^2-1)}{\exp(x)} \Leftrightarrow (x-1)(x+1) = 0
\exp(-x) = \dfrac{\exp(x^2-1)}{\exp(x)} \Leftrightarrow x \in \{-1; 1\}
Cette expression est donc vraie pour x \in \{-1; 1\}, soit :
S=\left\{ 1; -1\right\}
Soit l'expression :
\text{exp}(-3x) = \dfrac{\exp(x^2 + 1)}{\exp(3x)}
Pour quelles valeurs de x cette expression est-elle vraie ?
D'après le cours, on a :
\exp(a) = \dfrac{1}{\exp(-a)}
Ici, on a :
\exp(-3x) = \dfrac{\exp(x^2+1)}{\exp(3x)} \Leftrightarrow \exp(-3x) \exp(3x) = \exp(x^2 + 1)
Donc d'après le cours, on obtient :
\exp(-3x) = \dfrac{\exp(x^2+1)}{\exp(3x)} \Leftrightarrow 1 = \exp(x^2 + 1)
\exp(-3x) = \dfrac{\exp(x^2+1)}{\exp(3x)} \Leftrightarrow \exp(0) = \exp(x^2 + 1)
\exp(-3x) = \dfrac{\exp(x^2+1)}{\exp(3x)} \Leftrightarrow x^2 + 1 = 0
Le polynôme x^2 + 1 ne s'annule jamais car \Delta =b^2-4ac= -4 < 0.
Cette expression n'est donc jamais vraie, soit :
S=\emptyset