Résoudre les inéquations suivantes.
I:\left(e^{2x^2}-1\right)\left(e^{2x^2}-e^{x}\right)\lt 0
Pour résoudre cette inéquation, on étudie le signe de l'expression. Afin d'étudier le signe d'un produit, on étudie le signe de chaque facteur puis on dresse un tableau de signes.
Signe de e^{2x^2}-1
e^{2x^2}-1\gt0
\Leftrightarrow e^{2x^2}\gt1
\Leftrightarrow e^{2x^2}\gt e^0
\Leftrightarrow 2x^2\gt 0
Ce carré est toujours positif et s'annule pour x=0.
Signe de e^{2x^2}-e^x
e^{2x^2}-e^x\gt0
\Leftrightarrow e^{2x^2}\gt e^x
\Leftrightarrow 2x^2\gt x
\Leftrightarrow 2x^2-x\gt 0
On étudie le signe de ce trinôme du second degré.
\Delta=1
\Delta\gt0 donc le trinôme est du signe de a (positif) à l'extérieur des racines et du signe de -a (négatif) à l'intérieur des racines.
On calcule les racines :
x_1=\dfrac{-b-\sqrt(\Delta)}{2a}=\dfrac{1-1}{4}=0
x_1=\dfrac{-b+\sqrt(\Delta)}{2a}=\dfrac{1+1}{4}=\dfrac{1}{2}
Signe du produit
Ainsi, on peut dresser le tableau de signes de \left(e^{2x^2}-1\right)\left(e^{2x^2}-e^{x}\right) sur \mathbb{R} :
Afin de résoudre l'inéquation, on choisit les intervalles pour lesquelles l'expression est strictement négative.
On obtient donc : S=\left]0;\dfrac{1}{2}\right[.
I:\left(e^{3x}-1\right)\left(e^{2x+1}-1\right)\lt 0
Pour résoudre cette inéquation, on étudie le signe de l'expression. Afin d'étudier le signe d'un produit, on étudie le signe de chaque facteur puis on dresse un tableau de signes.
Signe de e^{3x}-1
\exp(3x) - 1 \gt 0
\Leftrightarrow \exp(3x) \gt 1
\Leftrightarrow \exp(3x) \gt \exp(0)
\Leftrightarrow 3x \gt 0
\Leftrightarrow x \gt 0
Signe de e^{2x+1}-1
\exp(2x+1) - 1 \gt 0
\Leftrightarrow \exp(2x+1) \gt 1
\Leftrightarrow \exp(2x+1) \gt \exp(0)
\Leftrightarrow 2x+1 \gt 0
\Leftrightarrow 2x \gt -1
\Leftrightarrow x \gt -\dfrac{1}{2}
Signe du produit
Ainsi, on peut dresser le tableau de signes de \left(e^{3x}-1\right)\left(e^{2x+1}-1\right) sur \mathbb{R} :
Afin de résoudre l'inéquation, on choisit les intervalles pour lesquelles l'expression est strictement négative.
On obtient donc : S=\left]-\dfrac{1}{2};0\right[.
I:\left(e^{x-2}-1\right)\left(e^{-x}-e^{x} \right) > 0
Pour résoudre cette inéquation, on étudie le signe de l'expression. Afin d'étudier le signe d'un produit, on étudie le signe de chaque facteur puis on dresse un tableau de signes.
Signe de \left(e^{x-2}-1\right)
\left(e^{x-2}-1\right) \gt 0
\Leftrightarrow \left(e^{x-2}\right) \gt 1
\Leftrightarrow e^{x-2} \gt \exp(0)
\Leftrightarrow x - 2 \gt 0
\Leftrightarrow x \gt 2
Signe de \left(e^{-x}-e^{x} \right)
\left(e^{-x}-e^{x} \right) \gt 0
\Leftrightarrow e^{-x} \gt e^{x}
\Leftrightarrow -x \gt x
\Leftrightarrow 2x \lt 0
\Leftrightarrow x \lt 0
Signe du produit
Ainsi, on peut dresser le tableau de signes de \left(e^{x-2}-1\right)\left(e^{-x}-e^{x} \right) sur \mathbb{R} :
Afin de résoudre l'inéquation, on choisit les intervalles pour lesquelles l'expression est strictement positive.
On obtient donc : S= \mathbb{R} \backslash ]0; 2[ .
I:\left(e^{x^2-1}-1\right)\left(e^{x^2-1}-e^{x^2} \right) > 0
Pour résoudre cette inéquation, on étudie le signe de l'expression. Afin d'étudier le signe d'un produit, on étudie le signe de chaque facteur puis on dresse un tableau de signes.
Signe de \left(e^{x^2-1}-1\right)
\left(e^{x^2-1}-1\right) \gt 0
\Leftrightarrow e^{x^2-1} \gt 1
\Leftrightarrow e^{x^2-1} \gt \exp(0)
\Leftrightarrow x^2 - 1 \gt 0
\Leftrightarrow x^2 \gt 1
\Leftrightarrow x \in \mathbb{R} \backslash ]-1;1[
Signe de \left(e^{x^2-1}-e^{x^2} \right)
\left(e^{x^2-1}-e^{x^2} \right) \lt 0
\Leftrightarrow e^{x^2-1} \lt e^{x^2}
\Leftrightarrow x^2-1 \lt x^2
\Leftrightarrow -1 \lt 0
L'expression \left(e^{x^2-1}-e^{x^2} \right) est négative sur \mathbb{R} .
Signe du produit
Ainsi, on peut dresser le tableau de signes de \left(e^{x^2-1}-1\right)\left(e^{x^2-1}-e^{x^2} \right) sur \mathbb{R} :
Afin de résoudre l'inéquation, on choisit les intervalles pour lesquelles l'expression est strictement positive.
On obtient donc : S= \mathbb{R} \backslash ]-1;1[ .
I:\left(e^{-x}-1\right)\left(e^{x}-1 \right)\gt 0
Pour résoudre cette inéquation, on étudie le signe de l'expression. Afin d'étudier le signe d'un produit, on étudie le signe de chaque facteur puis on dresse un tableau de signes.
Signe de \left(e^{-x}-1\right)
\left(e^{-x}-1\right) \gt 0
\Leftrightarrow e^{-x} \gt 1
\Leftrightarrow e^{-x} \gt \exp(0)
\Leftrightarrow -x \gt 0
\Leftrightarrow x \lt 0
Signe de \left(e^{x}-1 \right)
\left(e^{x}-1\right) \gt 0
\Leftrightarrow e^{x} \gt 1
\Leftrightarrow e^{x} \gt \exp(0)
\Leftrightarrow x \gt 0
Signe du produit
Ainsi, on peut dresser le tableau de signes de \left(e^{x^2-1}-1\right)\left(e^{x^2}-e^{x^2} \right) sur \mathbb{R} :
Afin de résoudre l'inéquation, on choisit les intervalles pour lesquelles l'expression est strictement positive.
On obtient donc : S= \varnothing .