Étudier les variations d'une fonction de la forme exp(kt) pour k un réel strictement positif Exercice

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R} et a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction f:x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp(2x)

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=2\exp(2x)

Or :
\forall x \in \mathbb{R}, \exp(2x) > 0

Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) > 0

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R} et a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction f:x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp(5x)

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=5\exp(5x)

Or, \exp(5x) > 0 pour tout x  dans \mathbb{R}.

Donc \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) > 0 .

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R} et a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction f:x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp\left(\dfrac{x}{2}\right)

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)= \dfrac{1}{2} \exp\left(\dfrac{x}{2}\right)

Or, \exp\left(\dfrac{1}{2}x\right) > 0 pour tout x dans \mathbb{R}.

Donc \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) > 0.

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R} et a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction f:x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp\left(\dfrac{x}{8}\right)

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)= \dfrac{1}{8} \exp\left(\dfrac{x}{8}\right)

Or, \exp\left(\dfrac{1}{8}x\right) > 0 pour tout x  dans \mathbb{R}.

Donc \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) > 0 .

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R} et a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction f:x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp(8x)

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=8\exp(8x)
f'(x) = 8\exp(8x)

Or, \exp(8x) > 0 pour tout x  dans \mathbb{R}.

Donc \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) > 0 .