Étudier les variations d'une fonction de la forme exp(-kt) pour k un réel strictement positif Exercice

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R} et a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction f:x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp(-2x)

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-2\exp(-2x)

Or :
\forall x \in \mathbb{R}, \exp(-2x) \gt 0

Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, -2 \exp(-2x) \lt 0
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) \lt 0

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R} et a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction f:x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp(-3x)

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = -3 \exp(-3x)

Or, \exp(-3x) > 0 pour tout x dans \mathbb{R}.

Donc f'(x) < 0 pour tout x dans \mathbb{R}.

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R} et a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction f:x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp(-10x)

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=-10 \exp(-10x)

Or \exp(-10x) > 0 pour tout x  dans \mathbb{R}.

Donc  f'(x) < 0 pour tout x dans \mathbb{R}.

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R} et a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction f:x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp(-\dfrac{x}{10})

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = -\dfrac{1}{10} \exp(-\dfrac{x}{10})

Or, \exp(-\dfrac{x}{10}) > 0 pour tout x  dans \mathbb{R}.

Donc f'(x) < 0 pour tout x dans \mathbb{R}.

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R} et a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que \forall x \in I, ax+b \in J. Alors la fonction f:x\longmapsto g(ax+b) est dérivable sur I et, pour tout nombre réel x de I :
f'(x)=a\times g'(ax+b)

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \exp(-\dfrac{x}{2})

Ainsi :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = -\dfrac{1}{2} \exp(-\dfrac{t}{2})

Or, \exp(-\dfrac{x}{2}) > 0 pour tout x  dans \mathbb{R}.

Donc f'(x) < 0 pour tout x dans \mathbb{R}.