Le PNB (Produit national brut) de la France est de 2 856 milliards de dollars en 2017. Le gouvernement français souhaite une augmentation du PNB de 2 % par an.
Pour tout entier naturel n, on note u_n le PNB de la France (en milliards de dollars) à l'année 2017+n.
Donner le terme général de (u_n) en utilisant une exponentielle.
Donnée : 1{,}02=\exp(a) \Leftrightarrow a \approx 0{,}02
Pour tout entier naturel n, u_n est le PNB de la France (en milliards de dollars) à l'année 2017+n.
On a u_0=\text{2 856}. Par ailleurs, chaque année, le PNB augmente de 2 %. Or, pour augmenter un nombre de 2 %, on le multiplie par 1+\dfrac{2}{100}.
Ainsi, pour tout entier naturel n, on obtient :
u_{n+1}=1{,}02u_n
On remarque ainsi que (u_n) est une suite géométrique de raison q=1{,}02 et de terme initial u_0=\text{2 856}.
On peut réécrire cette suite de manière explicite :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=\text{2 856}\times (1{,}02)^n
On pose 1{,}02=\exp(a).
On obtient :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=\text{2 856}\times (exp(a))^n
D'après une propriété sur la fonction exponentielle :
\forall a \in \mathbb{R} et \forall n\in \mathbb{N}, \exp(an)=(exp(a))^n
On obtient :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=\text{2 856}\times exp(na)
D'après l'énoncé :
1{,}02=\exp(a) \Leftrightarrow a \approx 0{,}02
En remplaçant a, on obtient donc :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n\approx \text{2 856}\times \exp(0{,}02n)
En 2018, un supermarché vendait un pack de lessive 10,60 €. Il augmente chaque année de 1 %.
Pour tout entier naturel n, on note u_n le prix du pack de lessive à l'année 2018 + n.
Donner le terme général de (u_n) en utilisant une exponentielle.
Donnée : 1{,}01=\exp(a) \Leftrightarrow a \approx 0{,}00995
Pour tout entier naturel n, u_n est le prix du pack de lessive à l'année 2018+n.
On a u_0=10{,}60. Par ailleurs, chaque année, le prix du pack de lessive augmente de 1 %. Or, pour augmenter un nombre de 1 %, on le multiplie par 1+\dfrac{1}{100}.
Ainsi, pour tout entier naturel n, on obtient :
u_{n+1}=1{,}01u_n
On remarque ainsi que (u_n) est une suite géométrique de raison q=1{,}01 et de terme initial u_0=10{,}60.
On peut réécrire cette suite de manière explicite :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=10{,}60\times (1{,}01)^n
On pose 1{,}01=\exp(a).
On obtient :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=10{,}60\times (exp(a))^n
D'après une propriété sur la fonction exponentielle :
\forall a \in \mathbb{R} et \forall n\in \mathbb{N}, \exp(an)=(exp(a))^n
On obtient :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=10{,}60\times exp(na)
D'après l'énoncé :
1{,}01=\exp(a) \Leftrightarrow a \approx 0{,}00995
En remplaçant a, on obtient :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n\approx 10{,}60\times \exp(0{,}00995n)
En 2017, Arno avait 6 € sur un livret A au taux d'intérêt de 0,75 %.
Pour tout entier naturel n, on note u_n l'argent sur le compte d'Arno en 2017 + n .
Donner le terme général de (u_n) en utilisant une exponentielle.
Donnée : 1{,}0075=\exp(a) \Leftrightarrow a \approx 0{,}00747
Pour tout entier naturel n, u_n est l'argent sur le livret A d'Arno à l'année 2017 + n
On a u_0=6. Par ailleurs, chaque année, le taux du livret A augmente de 0,75 %. Or, pour augmenter un nombre de 0,75 %, on le multiplie par 1+\dfrac{0{,}75}{100}.
Ainsi, pour tout entier naturel n, on obtient :
u_{n+1}=1{,}0075u_n
On remarque ainsi que (u_n) est une suite géométrique de raison q=1{,}0075 et de terme initial u_0=6.
On peut réécrire cette suite de manière explicite :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=6\times (1{,}0075)^n
On pose 1{,}0075=\exp(a).
On obtient :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=6\times (exp(a))^n
D'après une propriété sur la fonction exponentielle :
\forall a \in \mathbb{R} et \forall n\in \mathbb{N}, \exp(an)=(exp(a))^n
On obtient :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=6\times exp(na)
D'après l'énoncé :
1{,}0075=\exp(a) \Leftrightarrow a \approx 0{,}00747
En remplaçant a, on obtient :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n\approx 6 \times \exp(0{,}00747 n)
En 2020, une maladie mystérieuse fait chaque semaine 3 % de morts supplémentaires. En France, lors de la première semaine de comptage, la Direction générale de la santé a enregistré 82 décès.
Pour tout entier naturel n, on note u_n le nombre de morts entre le premier décès et la semaine n.
Donner le terme général de (u_n) en utilisant une exponentielle.
Donnée : 1{,}03=\exp(a) \Leftrightarrow a \approx 0{,}0295
Pour tout entier naturel n, u_n est le nombre de décès liés à une maladie mystérieuse n semaines après le premier cas recensé.
On a u_0=82. Par ailleurs, chaque semaine, le nombre de décès augmente de 3 %. Or, pour augmenter un nombre de 3 %, on le multiplie par 1+\dfrac{3}{100}.
Ainsi, pour tout entier naturel n, on obtient :
u_{n+1}=1{,}03u_n
On remarque ainsi que (u_n) est une suite géométrique de raison q=1{,}02 et de terme initial u_0=\text{2 856}. On peut réécrire cette suite de manière explicite :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=82\times (1{,}03)^n
On pose 1{,}03=\exp(a).
On obtient :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=82\times (exp(a))^n
D'après une propriété sur la fonction exponentielle :
\forall a \in \mathbb{R} et \forall n\in \mathbb{N}, \exp(an)=(exp(a))^n
On obtient :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=82\times exp(na)
D'après l'énoncé :
1{,}03=\exp(a) \Leftrightarrow a \approx 0{,}0295
En remplaçant a, on obtient :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n\approx 82\times \exp(0{,}0295n)
Au pays des géants, les ogres naissent en moyenne avec une taille de 1,42 m. Chaque mois, leur croissance est d'environ 8 % par rapport au mois précédent.
Pour tout entier naturel n, on note u_n la taille en mètres d'un ogre âgé de n mois.
Donner le terme général de (u_n) en utilisant une exponentielle.
Donnée : 1{,}08=\exp(a) \Leftrightarrow a \approx 0{,}0769
Pour tout entier naturel n, u_n est la taille en mètres d'un ogre âgé de n mois.
On a u_0=1{,}42. Par ailleurs, chaque mois, la taille de l'ogre augmente de 8 %. Or, pour augmenter un nombre de 8 %, on le multiplie par 1+\dfrac{8}{100}.
Ainsi, pour tout entier naturel n, on obtient :
u_{n+1}=1{,}08u_n
On remarque ainsi que (u_n) est une suite géométrique de raison q=1{,}08 et de terme initial u_0=1{,}42.
On peut réécrire cette suite de manière explicite :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=1{,}42 \times (1{,}08)^n
On pose 1{,}08=\exp(a).
On obtient :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=1{,}42\times (exp(a))^n
D'après une propriété sur la fonction exponentielle :
\forall a \in \mathbb{R} et \forall n\in \mathbb{N}, \exp(an)=(exp(a))^n
On obtient :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=1{,}42\times exp(na)
D'après l'énoncé :
1{,}08=\exp(a) \Leftrightarrow a \approx 0{,}0769
En remplaçant a, on obtient :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n\approx 1{,}42 \times \exp(0{,}0769n)