Soit (u_n) la suite définie pour tout entier naturel n par :
u_n=exp(2n)
Quelles sont les valeurs de u_0, u_1 et u_2 ?
La suite u_n est définie de manière explicite dans l'énoncé.
Il suffit donc, pour calculer les trois premières valeurs de cette suite, de remplacer n par les indices 0, 1 et 2.
Ainsi :
u_0 = exp(2\times0) = exp(0) = 1 (La valeur de exp(0) est à connaître.)
u_1 = exp(2\times1) = exp(2)
u_2 = exp(2\times2) = exp(4)
Les valeurs des trois premiers termes de la suite sont donc :
u_0 = 1
u_1 = exp(2)
u_2 = exp(4)
Quelle est la valeur de u_{n+1}, en fonction de n ?
Pour calculer la valeur de u_(n+1), il faut remplacer n par n+1 dans l'expression qui définit la suite, sans oublier les règles de priorités.
La valeur de u_(n+1) est donc :
u_(n+1) = exp(2n+2)
L'important est de ne pas oublier les parenthèses lorsque l'on remplace n par n+1.
Quelle est la valeur de \dfrac{u_{n+1}}{u_n} ?
On a :
- u_{n+1} = exp(2n+2)
- u_n=exp(2n)
Le cours sur les exponentiels indique que :
\dfrac{exp(a)}{exp(b)} = exp(a-b)
Donc :
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{exp(2n+2)}{exp(2n)} = exp(2n+2-2n) = exp(2)
Finalement, la valeur du quotient est :
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = exp(2)
Quelle est la nature de la suite u_n ?
Le quotient \dfrac{u_{n+1}}{u_n} est une valeur constante égale à exp(2.
On obtient donc, en multipliant les deux côtés de l'équation trouvée précédemment par u_n :
u_{n+1} = exp(2) \times u_n
On reconnaît ici l'expression d'une suite géométrique de raison q=exp(2).
La suite u_n est donc une suite géométrique de raison q=exp(2) et de premier terme u_0=1.