La population d'une espèce d'animale augmente de 6 % chaque année. Fin 2019, on comptait 180 animaux de cette espèce.
Dans cet exercice, on note u_n le nombre d'animaux à la fin de l'année 2019+n.
Quelles sont les valeurs de u_0, u_1 et u_2 ?
u_n représente le nombre d'animaux à la fin de l'année 2019+n. Pour n=0, u_0 représente donc la population d'animaux en 2019.
D'après l'énoncé, on a donc :
u_0 = 180
Par la suite, la population augmente chaque année de 6 %. Cela signifie que fin 2020, il y aura 6 % de plus d'animaux qu'en 2019, soit une multiplication par 1,06.
Ainsi :
u_1=u_0\times 1{,}06 = 180 \times 1{,}06 = 190{,}8
u_2 = u_1 \times 1{,}06 = 190{,}8 \times 1{,}06 = 202{,}25 arrondi à 0,01 près
Les valeurs de u_0, u_1 et u_2 sont :
u_0=180
u_1=190{,}8
u_2=202{,}25
Quelle est la nature de la suite u_n ?
En utilisant le même raisonnement qu'à la question précédente, le nombre d'animaux en 2019+n+1 est 6 % supérieur au nombre d'animaux en 2019+n.
Donc :
u_{n+1} = 1{,}06\times u_n
On reconnaît ici une suite géométrique (c'est-à-dire où u_{n+1}=q\times u_n) de raison q=1{,}06.
La suite u_n est donc une suite géométrique.
Quel est le terme général de la suite u_n ?
Le cours donne la formule de calcul d'une suite géométrique de raison q et de premier terme u_0 :
u_n=u_0\times q^n
Dans le cas étudié :
u_n est une suite géométrique de raison 1,06, et dont le premier terme est u_0 = 180.
En appliquant la formule, on obtient :
u_n=180\times 1{,}06^n
En appliquant la formule, on obtient donc le terme général suivant :
u_n=180\times 1{,}06^n
Quel est le sens de variation de la suite u_n ?
Dans le cas des suites géométriques, le cours donne le sens de variation de la suite directement en fonction de la valeur de la raison q et du premier terme u_0 :
- Si q>1 et u_0>0, la suite est croissante.
- Si 0<q<1 et u_0>0, la suite est décroissante.
- Si q>1 et u_0<0, la suite est décroissante.
- Si 0<q<1 et u_0>0, la suite est croissante.
- Si q<0, la suite n'est pas monotone.
Ici, on a :
q=1{,}06>1 et u_0=180>0
La suite i appartient donc au premier cas de figure : la suite u est croissante.
Parmi les propositions suivantes, laquelle représente correctement par un nuage de points les 6 premiers termes de cette suite ?
Il faut calculer les premiers termes de la suite puis les placer sur le graphique. La forme finale obtenue se rapproche de la forme de la fonction exponentielle. On dit que la suite a une croissance exponentielle.
