Dans les cas suivants, calculer la fonction dérivée de f.
Soit f, la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = x + \exp(x)
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}, alors la fonction f=u+v est dérivable sur I et f'=u'+v'.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = x
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) = \exp(x)
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = 1 ;
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = \exp(x) .
La fonction f est donc dérivable sur \mathbb{R} et : \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = 1 + \exp(x) .
Soit f, la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^*, f(x) = \dfrac{1}{x} + \exp(x)
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}, alors la fonction f=u+v est dérivable sur I et f'=u'+v'.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = \dfrac{1}{x}
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) = \exp(x)
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = -\dfrac{1}{x^2} ;
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = \exp(x) .
La fonction f est donc dérivable sur \mathbb{R} et : (\forall x \in \mathbb{R, f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} + \exp(x).
Soit f, la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = x^2+ \exp(x)
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}, alors la fonction f=u+v est dérivable sur I et f'=u'+v'.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = x^2
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) = \exp(x)
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = 2x ;
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = \exp(x) .
La fonction f est donc dérivable sur \mathbb{R} et : \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \exp(x) + 2x .
Soit f, la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^+, f(x) = \exp(x) + 3x^2+\sqrt{x}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}, alors la fonction f=u+v est dérivable sur I et f'=u'+v'.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = 3x^2
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) = \sqrt{x}
- \forall x \in \mathbb{R}, w(x) = \exp(x)
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = 6x ;
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} ;
- w est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, w'(x) = \exp(x) .
La fonction f est donc dérivable sur \mathbb{R} et : \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = 6x + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + \exp(x) .
Soit f, la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^+_*, f(x) = \exp(x) + \dfrac{1}{x}+\sqrt{x}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}, alors la fonction f=u+v est dérivable sur I et f'=u'+v'.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = \dfrac{1}{x}
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) = \sqrt{x}
- \forall x \in \mathbb{R}, w(x) = \exp(x)
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = -\dfrac{1}{x^2} ;
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} ;
- w est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, w'(x) = \exp(x) .
La fonction f est donc dérivable sur \mathbb{R} et : \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + \exp(x) .