Dans les cas suivants, transformer l'expression en produit d'exponentielles.
A= \exp((x+y)^2 + (x-y)^2)
D'après une propriété du cours on a :
\exp(a+b)=\exp(a)\times \exp(b)
On a donc, pour tout x, y \in \mathbb{R}
\exp((x+y)^2 + (x-y)^2) = \exp((x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2))
\exp((x+y)^2 + (x-y)^2) = \exp(2x^2 + 2y^2)
En appliquant la propriété du cours on obtient :
\exp((x+y)^2 + (x-y)^2) = \exp(2x^2) \exp(2y^2)
L'expression peut donc s'écrire de la façon suivante : \exp(2x^2) \exp(2y^2)
Soit l'expression suivante : \exp((x+y)(x-y)) .
Comment s'écrit-elle sous la forme \exp(f(x)) \exp (g(y)) avec f et g deux fonctions définies sur \mathbb{R} ?
On a, pour tout x,y \in \mathbb{R} l'identité remarquable suivante :
(x+y)(x-y) = x^2 - y^2
Donc :
\exp((x+y)(x-y))= \exp(x^2 - y^2))
D'après la propriété \exp(a+b) = \exp(a)\exp(b) , on peut écrire :
\exp((x+y)(x-y))= \exp(x^2)\exp( - y^2)
Donc : \exp((x+y)(x-y))= \exp(x^2)\exp( - y^2)
Soit l'expression suivante : \exp((x-y-z)(x+y+z)).
Comment s'écrit-elle sous la forme d'un produit d'exponentielles ?
On a, pour tout x, y \in \mathbb{R} :
\exp((x-y-z)(x+y+z)) = \exp(x^2 -y^2 - z^2 + xy + xz - yx - yz-zx-zy) =\exp(x^2 - y^2 - z^2-2yz)
D'après la propriété \exp(a+b) = \exp(a)\exp(b) , on peut écrire :
\exp((x - y - z)^2)= \exp(x^2)\exp(- y^2) \exp(- z^2)\exp(-2yz)
Donc : \exp((x-y-z)(x+y+z))= \exp(x^2)\exp(- y^2) \exp(- z^2)\exp(-2yz)
Soit l'expression suivante : \exp( (x+2)(x - y) + xy ) .
Comment s'écrit-elle sous la forme \exp(f(x)) \exp (g(y)) avec f, g deux fonctions définies sur \mathbb{R} ?
On a, pour tout x, y \in \mathbb{R} :
\exp( (x+2)(x - y) + xy) = \exp(x^2 -xy + 2x - 2y + xy)
\exp( (x+2)(x - y) + xy)= \exp(x^2 + 2x - 2y)
D'après la propriété \exp(a+b) = \exp(a)\exp(b) , on peut écrire :
\exp( (x+2)(x - y) + xy)= \exp(x^2 + 2x) \exp(-2y)
Donc : \exp( (x+2)(x - y) + xy) = \exp(x^2 + 2x) \exp(-2y)