Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f(x)=\exp(x) - 1
Quel est le signe de cette expression pour x \in \mathbb{R} ?
On a :
f(x) \geqslant 0
\Leftrightarrow\\ \exp(x) - 1 \geqslant 0
\Leftrightarrow\\ \exp(x) \geqslant 1
\Leftrightarrow\\ \exp(x) \geqslant \exp(0)
Or :
a \geqslant b \Leftrightarrow e^a\geqslant e^b
Donc :
\exp(x) \geqslant \exp(0) \Leftrightarrow x \geqslant 0
Ainsi, f(x) \geqslant 0 pour x \geqslant 0 .
Soit l'expression suivante :
\exp(x^2 - 3x - 4) - 1
Quel est le signe de cette expression pour x \in \mathbb{R} ?
On a :
\exp(x^2 - 3x - 4) - 1 >= 0 \Leftrightarrow \exp(x^2 - 3x - 4) >= 1
\exp(x^2 - 3x - 4) - 1 >= 0 \Leftrightarrow \exp(x^2 - 3x - 4) >= \exp(0)
Or, a>=b équivaut à e^a>=e^b .
Donc :
\exp(x^2 - 3x - 4) -1 >= 0 \Leftrightarrow x^2 - 3x - 4 >= 0)
On a un polynôme du second degré pour lequel :
\Delta = 9 + 16 = 25 = 5^2
Donc les racines valent :
x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{3 +5}{2} = 4
x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{3 -5}{2} = -1
Le polynôme est du signe de a à l'extérieur des racines :
\exp(x^2 - 3x - 4) - 1 <= 0 \Leftrightarrow x \in [-1; 4]
Ainsi, \exp(x^2 - 3x - 4) - 1 <= 0 \Leftrightarrow x \in [-1; 4] .
Soit l'expression suivante :
\exp(-x^2 - 12x - 35) - 1
Quel est le signe de cette expression pour x \in \mathbb{R} ?
On a :
\exp(-x^2 - 12x - 35) - 1 >= 0 \Leftrightarrow \exp(-x^2 - 12x - 35) >= 1
\exp(-x^2 - 12x - 35) - 1 >= 0 \Leftrightarrow \exp(-x^2 - 12x - 35) >= \exp(0)
Or, a=b équivaut à e^a=e^b .
Donc :
\exp(-x^2 - 12x - 35) - 1 >= 0 \Leftrightarrow -x^2 - 12x - 35 >= 0)
On a un polynôme du second degré pour lequel :
\Delta = 144 - 140 = 4 = 2^2
Donc les racines valent :
x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{12 -2}{-2} = -5
x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{12 + 2}{-2} = -7
Le polynôme est du signe de a l'extérieur des racines :
\exp(x^2 + 12x + 35) - 1 >= 0 \Leftrightarrow -x^2 - 12x - 35 >= 0)
\exp(x^2 + 12x + 35) - 1 >=0 \Leftrightarrow x \in [-7; -5]
Ainsi, \exp(x^2 + 12x + 35) - 1 >=0 \Leftrightarrow x \in [-7; -5] .
Soit l'expression suivante :
\exp\left(\dfrac{1}{3}x\right) - 1 = 0
Quel est le signe de cette expression pour x \in \mathbb{R} ?
On a :
\exp\left(\dfrac{1}{3}x\right) - 1 >= 0 \Leftrightarrow \exp\left(\dfrac{1}{3}x\right) >= 1
\exp\left(\dfrac{1}{3}x\right) - 1 >= 0 \Leftrightarrow \exp\left(\dfrac{1}{3}x\right) >= \exp(0)
Or, a=b équivaut à e^a=e^b .
Donc :
\exp\left(\dfrac{1}{3}x\right) - 1 >= 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}x >= 0
\exp\left(\dfrac{1}{3}x\right) - 1 >= 0 \Leftrightarrow x >= 0
Ainsi, \exp\left(\dfrac{1}{3}x\right) - 1 >= 0 \Leftrightarrow x >= 0 .
Soit l'expression suivante :
\exp(3x + 1) -1
Quel est le signe de cette expression pour x \in \mathbb{R} ?
On a :
\exp(3x + 1) -1 < 0 \Leftrightarrow \exp(3x + 1) < 1
\exp(3x + 1) -1 < 0 \Leftrightarrow \exp(3x + 1) < \exp(0)
Or, a<b équivaut à e^a<e^b .
Donc :
\exp(3x + 1) -1 < 0 \Leftrightarrow 3x + 1 < 0
\exp(3x + 1) -1 < 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac{1}{3}
Ainsi, \exp(3x + 1) -1 < 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac{1}{3} .