Résoudre les équations suivantes.
(E):\exp(x^2 - 3x - 4) = 1
On sait que exp(0)=1.
On obtient :
\exp(x^2 - 3x - 4) = 1
\Leftrightarrow \exp(x^2 - 3x - 4) = \exp(0)
Or, d'après le cours, pour tous réels a et b :
a=b \Leftrightarrow e^a=e^b
Ainsi :
\exp(x^2 - 3x - 4) = 1
\Leftrightarrow x^2 - 3x - 4 = 0
On reconnaît une équation du second degré.
\Delta = 9 + 16 = 25 = 5^2
\Delta\gt0 donc l'équation admet deux solutions réelles :
- x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{3 +5}{2} = 4
- x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{3 -5}{2} = -1
Ainsi, S=\left\{ -1;4 \right\}.
(E) : \exp(x^2 + 12x + 35) - 1 = 0
On sait que exp(0)=1.
On obtient :
\exp(x^2 + 12x + 35) - 1 = 0 \Leftrightarrow \exp(x^2 + 12x + 35) = 1
\exp(x^2 + 12x + 35) - 1 = 0 \Leftrightarrow \exp(x^2 + 12x + 35) = \exp(0)
D'après le cours, a=b équivaut à e^a=e^b pour tous réels a et b, donc :
\exp(x^2 + 12x + 35) - 1 = 0 \Leftrightarrow x^2 + 12x + 35 = 0)
On a un polynôme du second degré pour lequel :
\Delta = 144 - 140 = 4 = 2^2
Donc les racines valent :
x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-12 -2}{2} = -7
x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-12 + 2}{2} = -5
Les racines sont \{-7; -5\}.
\exp(x^2 + 12x + 35) = 1 \Leftrightarrow (x+7)(x+5) = 0
\exp(x^2 + 12x + 35) = \exp(10) \Leftrightarrow x \in \{-7; -5\}
Ainsi, S = \{-7; -5\}.
Soit un réel x tel que :
\exp\left(\dfrac{1}{4}x\right) - 1 = 0
Pour quelles valeurs de x cette expression est-elle vraie ?
On sait que exp(0)=1.
On obtient :
\exp\left(\dfrac{1}{4}x\right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \exp\left(\dfrac{1}{4}x\right) = 1
\exp\left(\dfrac{1}{4}x\right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \exp\left(\dfrac{1}{4}x\right) = \exp(0)
D'après le cours, a=b équivaut à e^a=e^b pour tous réels a et b, donc :
\exp\left(\dfrac{1}{4}x\right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{4}x = 0
\exp\left(\dfrac{1}{4}x\right) - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0
Ainsi, S = \{0\}.
(E) : \exp(3x + 1) = 1
On sait que exp(0)=1.
On obtient :
\exp(3x + 1) =1 \Leftrightarrow \exp(3x + 1) = \exp(0)
D'après le cours, a=b équivaut à e^a=e^b pour tous réels a et b, donc :
\exp(3x + 1) =1 \Leftrightarrow 3x + 1 = 0
\exp(3x + 1) \Leftrightarrow x = -\dfrac{1}{3}
Ainsi, S = \{-\dfrac{1}{3}\} .
(E) : \exp(x^2) = 1 \)
On sait que exp(0)=1.
On obtient :
\exp(x^2) = 0 \Leftrightarrow \exp(x^2) = \exp(0)
D'après le cours, a=b équivaut à e^a=e^b pour tous réels a et b, donc :
\exp(x^2) =1 \Leftrightarrow x^2 = 0
\exp(3x + 1) \Leftrightarrow x = 0
Ainsi, S = \{ 0 \} .