Soit f la fonction exponentielle :
\forall x \in \mathbb{R} \: f(x) = exp(x)
On rappelle que :
exp(x) \ne 0
À l'aide des formules de calcul de la fonction exponentielle, comment compléter l'affirmation suivante ?
Pour tout réel x, exp(x) = exp(...)^2
Les règles de calcul de la fonction exponentielle donnent :
exp(x+y) = exp(x)\times exp(y)
Or :
exp(x)^2 = exp(x) \times exp(x)
Donc :
exp(x)^2=exp(x+x)
En remplaçant x par \dfrac{x}{2}, on obtient donc :
exp\left( \dfrac{x}{2}\right)^2 = exp(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} =exp(x)
Ainsi, pour tout réel x, exp(x) = exp\left(\dfrac{x}{2}\right)^2.
Que peut-on en déduire sur le signe de exp(x) ?
Pour tout réel x, et d'après la question précédente, exp(x) peut s'exprimer comme le carré d'un nombre réel.
Or, le cours sur la fonction carré indique qu'un nombre au carré est positif, donc :
Pour tout réel x :
exp(x) = exp\left(\dfrac{x}{2}\right)^2 \ge 0
D'après l'énoncé de plus :
exp(x) \ne 0
Donc pour tout réel x, exp(x) est positif et différent de 0.
Ainsi, pour tout réel x :
exp(x) >0
Quel est le sens de variation de la fonction f ?
Pour trouver le sens de variation d'une fonction, on étudie le signe de sa dérivée.
Le cours donne :
f'(x) = \left( exp(x) \right)' =exp(x)
De plus, d'après la question précédente :
exp(x)>0 pour tout réel x
Ainsi, on a :
f'(x) = exp(x) > 0 sur \mathbb{R}
La fonction f est donc croissante sur \mathbb{R}.