Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} :
f(x)=\dfrac{exp(x+y)}{exp(x)} avec y un nombre réel.
Quelle est la valeur de f'(x) ?
Pour commencer, le cours donne :
exp'(x)=exp(x)
On utilise la formule de dérivation d'un quotient de fonctions dérivables, en sachant que exp(x)>0 :
f'(x)=\dfrac{exp'(x+y)exp(x) - exp(x+y)exp'(x)}{exp^2(x)} = \dfrac{exp(x+y)exp(x)-exp(x+y)exp(x)}{exp^2(x)} =0
Pour conclure, on a donc :
f'(x) = 0
Quelle est la nature de la fonction f ?
Comme il a été prouvé à la question précédente :
\forall x \in \mathbb{R} \: f'(x) = 0
D'après le cours :
Une fonction dont la dérivée est nulle est une fonction constante.
f est donc une fonction constante.
Quelle est la valeur de f(0) ?
Pour calculer f(0), on remplace x dans l'expression de f(x) par 0 :
f(0) = \dfrac{exp(0+y)}{exp(0)} = exp(y) car exp(0)=1.
Finalement, on a :
f(0) = exp(y)
Que peut-on en déduire sur la valeur de exp(x+y) ?
La fonction f est constante, donc il existe un réel a tel que :
\forall x \in \mathbb{R} \: f(x)=a
Or f(0)=exp(y).
Donc :
a=exp(y), c'est-à-dire \forall x \in \mathbb{R} \:, f(x) = exp(y).
En utilisant l'expression de f(x), on obtient :
\forall x \in \mathbb{R} \: \dfrac{exp(x+y)}{exp(x)} = exp(y)
Donc en multipliant par exp(x) de chaque côté, on obtient que pour tous réels x et y :
exp(x+y) = exp(x)exp(y)