Dans chacun des cas suivants, calculer la fonction dérivée de f.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = x\exp(x)
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors la fonction f=u\times v est dérivable sur I et f'=u'\times v+u\times v'.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = x
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) = \exp(x)
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = 1 .
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = \exp(x) .
D'où :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = 1\times \exp(x) + x \times \exp(x)
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = (1 + x) \exp(x) .
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
\forall x \in \mathbb{R}^*, f(x) = \dfrac{1}{x} \times \exp(x)
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors la fonction f=u\times v est dérivable sur I et f'=u'\times v+u\times v'.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}^*, u(x) = \dfrac{1}{x}
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) = \exp(x)
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R}^* et \forall x \in \mathbb{R}^*, u'(x) = -\dfrac{1}{x^2} .
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = \exp(x) .
D'où :
\forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\times \exp(x) + \dfrac{1}{x} \times \exp(x)
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}^*, f'(x) = \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2} \right) \exp(x) .
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = (2x+3)\exp(x)
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors la fonction f=u\times v est dérivable sur I et f'=u'\times v+u\times v'.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = 2x + 3
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) = \exp(x)
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = 2 .
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = \exp(x) .
D'où :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = 2\times \exp(x) + (2x+3) \times \exp(x)
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = (2x+5)\times \exp(x) .
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}_+ par :
\forall x \in \mathbb{R}_+, f(x) = \sqrt{x} \times \exp(x)
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors la fonction f=u\times v est dérivable sur I et f'=u'\times v+u\times v'.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}_+, u(x) = \sqrt{x}
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) = \exp(x)
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R}^*_+ et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} .
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = \exp(x) .
D'où :
\forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times \exp(x) + \sqrt{x} \times \exp(x)
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}^*_+, f'(x) = \left(\sqrt{x} + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \right) \exp(x).
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = x^2\exp(x)
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors la fonction f=u\times v est dérivable sur I et f'=u'\times v+u\times v'.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = x^2
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) = \exp(x)
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = 2x .
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = \exp(x) .
D'où :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = 2x \times \exp(x) + x^2 \times \exp(x)
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = (x^2 + 2x) \exp(x).
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = (x^2 + 2x) \exp(x).