Résoudre chacune des inéquations suivantes.
(E):\exp(x^2 +3x +2) < 1
On sait que exp(0)=1, on obtient :
(E) \Leftrightarrow \exp(x^2 + 3x +2) < \exp(0)
D'après le cours, pour tous réels a et b :
a<b \Leftrightarrow e^a<e^b
Donc :
(E) \Leftrightarrow x^2 + 3x +2 < 0)
On reconnaît un polynôme du second degré pour lequel :
\Delta = 9 - 8 = 1 = 1^2
\Delta\gt0, donc le trinôme est du signe de a (positif) à l'extérieur des racines et du signe de -a (négatif) à l'intérieur des racines. On calcule les racines :
- x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-3-1}{2} = -2
- x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-3 + 1}{2} = -1
Ainsi, S=\left] -2; -1 \right[.
(E) : \exp(x^2 -8x + 12) < 1
On sait que \exp(0)=1, on obtient :
\exp(x^2 -8x +12) < 1 \Leftrightarrow \exp(x^2 -8x +12) < \exp(0)
D'après le cours, a<b équivaut à e^a<e^b pour tous réels a et b, donc :
\exp(x^2 -8x +12) < 1 \Leftrightarrow x^2 -8x +12 < 0)
On a un polynôme du second degré pour lequel :
\Delta = 64 - 48 = 16 = 4^2
\Delta\gt0 donc le trinôme est du signe de a (positif) à l'extérieur des racines et du signe de -a (négatif) à l'intérieur des racines.
On calcule les racines :
x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{8-4}{2} = 2
x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{8 + 4}{2} = 6
Ainsi, S = ]2; 6[ .
(E) : \exp(x^2 - 1) < 1
On sait que \exp(0)=1, on obtient :
\exp(x^2 - 1) < 1 \Leftrightarrow \exp(x^2 -1) < \exp(0)
D'après le cours a<b équivaut à e^a<e^b pour tous réels a et b donc :
\exp(x^2 -1) < 1 \Leftrightarrow x^2 -1 < 0
\exp(x^2 -1) < 1 \Leftrightarrow (x-1)(x+1) < 0
On a un polynôme du second degré dont les racines valent :
x_1 = -1
x_2 = 1
Le polynôme est du signe de -a (négatif) entre les racines :
\exp( x^2 -1) < 1 \Leftrightarrow x^2 -1 < 0)
\exp( x^2 -1) < 1 \Leftrightarrow x \in ]-1; 1[
Ainsi, S = ]-1; 1[ .
(E) : \exp(2x + 1) < 1
On sait que exp(0)=1.
On obtient :
\exp(2x + 1) < 1 \Leftrightarrow \exp(2x + 1) < \exp(0)
D'après le cours, a<b équivaut à e^a<e^b pour tous réels a et b, donc :
\exp(2x+1) < 1 \Leftrightarrow 2x + 1 < 0
\exp(2x + 1) < 1 \Leftrightarrow x < -\dfrac{1}{2}
Ainsi, S = ]-\infty; -\dfrac{1}{2} [ .
(E) : \exp(-4x - 3) < 1
On sait que \exp(0)=1.
On obtient :
\exp(-4x-3) < 1 \Leftrightarrow \exp(-4x-3) < \exp(0)
D'après le cours, a<b équivaut à e^a<e^b pour tous réels a et b, donc :
\exp(-4x-3) < 1 \Leftrightarrow -4x-3 < 0
\exp(-4x-3) < 1 \Leftrightarrow 4x > -3
\exp(-4x-3) < 1 \Leftrightarrow x > -\dfrac{3}{4}
Ainsi, S = ]-\dfrac{3}{4}; +\infty[.