Fonction exponentielleCours

I

La construction de la courbe d'une nouvelle fonction

On se pose la question de l'existence d'une fonction égale à sa dérivée dont la valeur en 0 est 1. On admet l'existence d'une telle fonction et l'on construit une courbe approchant sa représentation graphique. Cette fonction est la fonction exponentielle.

Soit h un réel strictement positif. Soit la suite ((x_n ;y_n)) définie sur \mathbb{N} par :

\begin{cases}(x_0;y_0)=(0;1)\\\forall n \in \mathbb{N},(x_{n+1};y_{n+1})=(x_n+h;y_n(1+h))\end{cases}

Cette suite donne une approximation de la courbe cherchée sur [0 ;+\infty[. Plus h est proche de 0, meilleure est l'approximation.

On admet l'existence d'une fonction f dérivable sur \mathbb{R} vérifiant f'=f et f(0)=1.

On sait que pour tout réel a, la fonction f admet pour approximation affine au voisinage de a :

f(x)\approx f'(a)(x-a)+f(a)

Or :

f'(a)=f(a)

On obtient donc au voisinage de a :

f(x)\approx f(a)(x-a)+f(a)

En posant x=a+h avec h proche de 0, on a donc :

f(x)\approx f(a)h+f(a)

f(x)\approx f(a)(1+h)

Posons (x_0;y_0)=(0{,}1) et pour tout n\in\mathbb{N}, x_{n+1}=x_n+h avec h proche de 0.

Alors pour tout entier naturel n, on a :

f(x_{n+1})\approx f(x_n)(1+h)

Ainsi en posant y_{n+1}=y_n(1+h) pour tout entier naturel n, la suite de points de coordonnées (x_n;y_n) est bien une suite approchant la courbe de la fonction f.

En choisissant h=0{,}1, on obtient :

-

On peut également obtenir une approximation de la courbe cherchée sur ]-\infty ;0] en choisissant le réel h strictement négatif.

En choisissant h=−0{,}1, on obtient :

-
II

Généralités sur la fonction exponentielle

On définit la fonction exponentielle à partir de propriétés liées à la fonction et sa dérivée. Il en découle des propriétés algébriques et des règles de calcul particulières.

A

Définition de la fonction exponentielle

Il existe une unique fonction f, dérivable sur \mathbb{R}, telle que f'=f et f(0)=1.

Fonction exponentielle

La fonction dérivable sur \mathbb{R}, telle que f'=f et f(0)=1 est appelée fonction exponentielle. Elle est notée exp.

B

Les propriétés de la fonction exponentielle

Des propriétés particulières découlent de la définition de la fonction exponentielle.

exp(0)=1

La fonction exponentielle est strictement positive sur \mathbb{R} :

\forall x \in\mathbb{R}exp(x)\gt0

Pour tous réels x et y :

\exp(x+y)=\exp(x)\times \exp(y)

Soit x un réel. On a :

exp(3+2x)=exp(3)\times exp(2x)

Pour tous réels x et y

\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}

 Soit x un réel. On a :

exp(2x-4)=\dfrac{exp(2x)}{exp(4)}

Pour tout réel x et y

\exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}

exp(-5)=\dfrac{1}{exp(5)}

Pour tout réel x et pour tout entier relatif n

\exp(nx)=\left[\exp(x)\right]^n

Soit x un réel.

exp(2x)=\left( exp(x)\right)^2

L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée \text{e}. On a :

\text{e}\approx 2{,}718

Par extension, pour tout nombre réel x, on note :

\exp(x)=\text{e}^x

Pour tout entier relatif n :

 \exp(n)=\left[\exp(1)\right]^n

Or :

exp(1)=e

D'où :

exp(n)=e^n

Soit a un réel quelconque. La suite \left( \text{e}^{na}\right)_{n\in\mathbb{N}}  est une suite géométrique de raison q=\text{e}^a.

En prenant a=2, on obtient la suite géométrique u_n définie par :

\forall n \in \mathbb{N}u_n=\exp(2n)

Voici les premiers termes de cette suite :

-
III

Étude de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est une fonction strictement monotone. Cette monotonie stricte a des conséquences sur la résolution d'équations et d'inéquations contenant des expressions utilisant la fonction exponentielle.

A

Les variations de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}.

-
B

Équations et inéquations avec l'exponentielle

Les variations de la fonction exponentielle permettent de résoudre des équations et inéquations contenant des expressions utilisant la fonction exponentielle.

Pour tous réels a et b :

e^a=e^b \Leftrightarrow a=b

On cherche à résoudre l'équation suivante sur  \mathbb{R}  :

(E):e^{3x+5}=e^{x^2-x+3}

On sait que :

e^{3x+5}=e^{x^2-x+3}

\Leftrightarrow 3x+5=x^2-x+3

\Leftrightarrow x^2-4x-2=0

On résout cet équation du second degré.

\Delta=b^2-4ac=16-4(1)(-2)=16+8=24

\Delta\gt0   donc l'équation admet deux solutions réelles :

  • x_1=\dfrac{-b-\sqrt(\Delta)}{2a}=\dfrac{4-/sqrt(24)}{2}=\dfrac{4-2\sqrt(6)}{2}=2-\sqrt(6)
  • x_1=\dfrac{-b+\sqrt(\Delta)}{2a}=2+\sqrt(6)

Pour tous réels a et b :

e^a\gt e^b\Leftrightarrow a\gt b

On cherche à résoudre l'inéquation suivante sur  \mathbb{R}  :

(E):e^{x-1} \lt e^4

On sait que :

e^{x-1} \lt e^4

\Leftrightarrow x-1 \lt 4

\Leftrightarrow x \lt5

D'où :

S=\left]– \infty ;5\right[

Pour tous réels a et b :

e^a\lt e^b\Leftrightarrow a\lt b

On cherche à résoudre l'inéquation suivante sur  \mathbb{R}  :

(E):e^{3x} \gt e^{2x-1}

On sait que :

e^{3x} \gt e^{2x-1}

\Leftrightarrow 3x \gt 2x-1

\Leftrightarrow x \gt -1

D'où :

S=\left]– 1 ;+\infty\right[

En particulier :

e^x\gt1 \Leftrightarrow x\gt0

On déduit les propriétés précédentes de la stricte croissance de la fonction exponentielle sur \mathbb{R}.