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Dernière modification : 07/11/2026 - Conforme au programme 2026-2027
Fonction exponentielle
La fonction dérivable sur \mathbb{R}, telle que f'=f et f(0)=1 est appelée fonction exponentielle. Elle est notée exp.
Pour f(x)=e^x, on a f(0)=1 et f(1)=e\approx2{,}72.
Comment construire la courbe d'une nouvelle fonction ?
On se pose la question de l'existence d'une fonction égale à sa dérivée dont la valeur en 0 est 1. On admet l'existence d'une telle fonction et l'on construit une courbe approchant sa représentation graphique. Cette fonction est la fonction exponentielle.
Soit h un réel strictement positif. Soit la suite ((x_n ;y_n)) définie sur \mathbb{N} par :
\begin{cases}(x_0;y_0)=(0;1)\\\forall n \in \mathbb{N},(x_{n+1};y_{n+1})=(x_n+h;y_n(1+h))\end{cases}
Cette suite donne une approximation de la courbe cherchée sur [0 ;+\infty[. Plus h est proche de 0, meilleure est l'approximation.
On admet l'existence d'une fonction f dérivable sur \mathbb{R} vérifiant f'=f et f(0)=1.
On sait que pour tout réel a, la fonction f admet pour approximation affine au voisinage de a :
f(x)\approx f'(a)(x-a)+f(a)
Or :
f'(a)=f(a)
On obtient donc au voisinage de a :
f(x)\approx f(a)(x-a)+f(a)
En posant x=a+h avec h proche de 0, on a donc :
f(x)\approx f(a)h+f(a)
f(x)\approx f(a)(1+h)
Posons (x_0;y_0)=(0{,}1) et pour tout n\in\mathbb{N}, x_{n+1}=x_n+h avec h proche de 0.
Alors pour tout entier naturel n, on a :
f(x_{n+1})\approx f(x_n)(1+h)
Ainsi en posant y_{n+1}=y_n(1+h) pour tout entier naturel n, la suite de points de coordonnées (x_n;y_n) est bien une suite approchant la courbe de la fonction f.
En choisissant h=0{,}1, on obtient :
On peut également obtenir une approximation de la courbe cherchée sur ]-\infty ;0] en choisissant le réel h strictement négatif.
En choisissant h=-0{,}1, on obtient :
Quelles sont les propriétés de la fonction exponentielle ?
Il existe une unique fonction f, dérivable sur \mathbb{R}, telle que f'=f et f(0)=1.
exp(0)=1
La fonction exponentielle est strictement positive sur \mathbb{R} :
\forall x \in\mathbb{R}, exp(x)\gt0
Pour tous réels x et y :
\exp(x+y)=\exp(x)\times \exp(y)
Soit x un réel. On a :
exp(3+2x)=exp(3)\times exp(2x)
Pour tous réels x et y :
\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}
Soit x un réel. On a :
exp(2x-4)=\dfrac{exp(2x)}{exp(4)}
Pour tout réel x et y :
\exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}
exp(-5)=\dfrac{1}{exp(5)}
Pour tout réel x et pour tout entier relatif n :
\exp(nx)=\left[\exp(x)\right]^n
Soit x un réel.
exp(2x)=\left( exp(x)\right)^2
L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée \text{e}. On a :
\text{e}\approx 2{,}718
Par extension, pour tout nombre réel x, on note :
\exp(x)=\text{e}^x
Pour tout entier relatif n :
\exp(n)=\left[\exp(1)\right]^n
Or :
exp(1)=e
D'où :
exp(n)=e^n
Soit a un réel quelconque. La suite \left( \text{e}^{na}\right)_{n\in\mathbb{N}} est une suite géométrique de raison q=\text{e}^a.
En prenant a=2, on obtient la suite géométrique u_n définie par :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=\exp(2n)
Voici les premiers termes de cette suite :
Comment étudier la fonction exponentielle ?
Les variations de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}.
La courbe représentative de la fonction exponentielle passe par les points (0 \ ; 1) et (1 \ ; \text{e}). Sa tangente au point d'abscisse 0 a pour équation y = x + 1.
La courbe est située au-dessus de l'axe des abscisses, dont elle se rapproche quand x devient très négatif, et elle monte de plus en plus vite quand x devient grand.
\text{e}^x devient très proche de 0 quand x est négatif et grand en valeur absolue, sans jamais l'atteindre, puisque \text{e}^x > 0.
- \text{e}^{-1} \approx 0{,}37
- \text{e}^{-2} \approx 0{,}14
- \text{e}^{-3} \approx 0{,}05
Équations et inéquations avec l'exponentielle
Les variations de la fonction exponentielle permettent de résoudre des équations et inéquations contenant des expressions utilisant la fonction exponentielle.
Pour tous réels a et b :
e^a=e^b \Leftrightarrow a=b
On cherche à résoudre l'équation suivante sur \mathbb{R} :
(E):e^{3x+5}=e^{x^2-x+3}
On sait que :
e^{3x+5}=e^{x^2-x+3}
\Leftrightarrow 3x+5=x^2-x+3
\Leftrightarrow x^2-4x-2=0
On résout cette équation du second degré.
\Delta=b^2-4ac=16-4(1)(-2)=16+8=24
\Delta\gt0 donc l'équation admet deux solutions réelles :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt(\Delta)}{2a}=\dfrac{4-\sqrt(24)}{2}=\dfrac{4-2\sqrt(6)}{2}=2-\sqrt(6)
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt(\Delta)}{2a}=2+\sqrt(6)
Pour tous réels a et b :
e^a\lt e^b\Leftrightarrow a\lt b\\
On cherche à résoudre l'inéquation suivante sur \mathbb{R} :
(E):e^{x-1} \lt e^4
On sait que :
e^{x-1} \lt e^4
\Leftrightarrow x-1 \lt 4
\Leftrightarrow x \lt5
D'où :
S=\left]– \infty ;5\right[
Pour tous réels a et b :
e^a\gt e^b\Leftrightarrow a\gt b
On cherche à résoudre l'inéquation suivante sur \mathbb{R} :
(E):e^{3x} \gt e^{2x-1}
On sait que :
e^{3x} \gt e^{2x-1}
\Leftrightarrow 3x \gt 2x-1
\Leftrightarrow x \gt -1
D'où :
S=\left]– 1 ;+\infty\right[
En particulier :
e^x\gt1 \Leftrightarrow x\gt0
On déduit les propriétés précédentes de la stricte croissance de la fonction exponentielle sur \mathbb{R}.
Les fonctions t \mapsto \text{e}^{kt}
De nombreuses grandeurs évoluent au cours du temps à un rythme proportionnel à leur valeur : capital placé à intérêts composés, population, quantité d'une substance radioactive. Elles se modélisent par des fonctions de la forme t \mapsto C , \text{e}^{kt}.
Soit a un réel. La fonction g définie sur \mathbb{R} par g(t) = \text{e}^{at} est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel t :
g'(t) = a , \text{e}^{at}
Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par g(t) = \text{e}^{-0{,}2t}. Elle est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel t :
g'(t) = -0{,}2 , \text{e}^{-0{,}2t}
Soit k un réel strictement positif.
- La fonction t \mapsto \text{e}^{kt} est strictement croissante sur \mathbb{R} : elle modélise une croissance exponentielle.
- La fonction t \mapsto \text{e}^{-kt} est strictement décroissante sur \mathbb{R} : elle modélise une décroissance exponentielle.
Les deux courbes passent par le point (0 \ ; 1) et sont situées au-dessus de l'axe des abscisses.
La quantité d'une substance radioactive, en grammes, présente dans un échantillon à l'instant t, en années, est donnée par :
N(t) = 50 , \text{e}^{-0{,}1t}
À l'instant t = 0, l'échantillon contient N(0) = 50 g. Comme -0{,}1 < 0, la fonction N est strictement décroissante : la quantité de substance diminue au cours du temps. Au bout de 10 ans, il reste :
N(10) = 50 , \text{e}^{-1} \approx 18{,}4 \text{ g}
Pour une grandeur modélisée par t \mapsto C , \text{e}^{kt}, la valeur à l'instant t + 1 s'obtient en multipliant la valeur à l'instant t par \text{e}^{k} :
C , \text{e}^{k(t + 1)} = C , \text{e}^{kt} \times \text{e}^{k}
Observée à des instants entiers, la grandeur suit donc une suite géométrique de raison \text{e}^{k}.