Fonction exponentielle Cours

Sommaire

ILa fonction exponentielleADéfinitionBPropriétésIIÉtude de la fonction exponentielleAVariations et conséquencesBÉquations et inéquations avec l'exponentielle
I

La fonction exponentielle

A

Définition

Il existe une unique fonction f, dérivable sur \mathbb{R}, telle que f'=f et f(0)=1.

Fonction exponentielle

Cette fonction est appelée fonction exponentielle et est notée exp.

B

Propriétés

  • Pour tous réels x et y, \exp(x+y)=\exp(x)\times \exp(y).
  • Pour tous réels x et y, \exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)} et \exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}.
  • Pour tout réel x et pour tout entier relatif n, \exp(nx)=\left[\exp(x)\right]^n.

Notations

  • L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée \text{e} et \text{e}\approx 2,718.
  • D'après le théorème précédent, pour tout entier relatif n, \exp(n)=\left[\exp(1)\right]^n=\text{e}^n.

 

Par extension, pour tout nombre réel x, on note \exp(x)=\text{e}^x.

Ainsi, on obtient :

  • \text{e}^0=\exp(0)=1; \text{e}^1=\exp(1)=\text{e}; \text{e}^{−1}=\exp(−1)=\dfrac{1}{\text{e}^1}=\dfrac{1}{\text{e}}.
  • pour tous réels x et y, \text{e}^{x+y}=\text{e}^x\times \text{e}^y; \text{e}^{x-y}=\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^y}; \text{e}^{-x}=\dfrac{1}{\text{e}^x}.
  • pour tout réel x et tout entier relatif n, \left( \text{e}^x\right)^n=\text{e}^{nx}.
  • Pour tout réel x, \text{e}^{2x}\times \left( \text{e}^{-x}\right)^3=\text{e}^{2x}\times \text{e}^{−3x}=\text{e}^{2x+(−3x)}=\text{e}^{-x}.
  • Pour tout réel x

\dfrac{\text{e}^{4x}}{\left( \text{e}^x\right)^2\times \text{e}}=\dfrac{\text{e}^{4x}}{\text{e}^{2x}\times \text{e}^1}

\dfrac{\text{e}^{4x}}{\left( \text{e}^x\right)^2\times \text{e}}=\dfrac{\text{e}^{4x}}{\text{e}^{2x+1}}

\dfrac{\text{e}^{4x}}{\left( \text{e}^x\right)^2\times \text{e}}=\text{e}^{4x-(2x+1)}=\text{e}^{2x−1}

Soit a un réel quelconque.

La suite \left( \text{e}^{na}\right) est donc une suite géométrique de raison \text{e}^a.

Pour tout réel x, \text{e}^x>0.

Autrement dit, la fonction exponentielle est strictement positive sur \mathbb{R}.

II

Étude de la fonction exponentielle

A

Variations et conséquences

La fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}.

-
-
B

Équations et inéquations avec l'exponentielle

Pour tous réels a et b :

  • a<b équivaut à \text{e}^a<\text{e}^b.
  • a=b équivaut à \text{e}^a=\text{e}^b.

 

En particulier, x>0 équivaut à \text{e}^x>1.

  • On déduit les propriétés précédentes de la stricte croissance de la fonction exponentielle sur \mathbb{R}.
  • Ces propriétés sont très utiles pour résoudre des équations et des inéquations où figure la fonction exponentielle.

Soit un réel x.

\text{e}^{x^2−9}>1\Leftrightarrow \text{e}^{x^2−9}>\text{e}^0

\text{e}^{x^2−9}>1\Leftrightarrow x^2−9>0

\text{e}^{x^2−9}>1\Leftrightarrow x<−3 \text{ ou } x>3

L'ensemble des solutions de l'inéquation  \text{e}^{x^2−9}\gt 1 est donc
\left]-\infty;−3\right[ \cup \left]3; +\infty\right[.

Soit un réel x.

\text{e}^{2x}=\text{e}\Leftrightarrow \text{e}^{2x}=\text{e}^1

\text{e}^{2x}=\text{e}\Leftrightarrow 2x=1

\text{e}^{2x}=\text{e}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}

L'équation \text{e}^{2x}=\text{e} admet une unique solution : \dfrac{1}{2}.