Fonction exponentielleCours

I

La construction de la courbe d'une nouvelle fonction

On se pose la question de l'existence d'une fonction égale à sa dérivée dont la valeur en 0 est 1. On admet l'existence d'une telle fonction et l'on construit une courbe approchant sa représentation graphique. Cette fonction est la fonction exponentielle.

Soit h un réel strictement positif. Soit la suite ((x_n ;y_n)) définie sur \mathbb{N} par :

\begin{cases}(x_0;y_0)=(0;1)\\\forall n \in \mathbb{N},(x_{n+1};y_{n+1})=(x_n+h;y_n(1+h))\end{cases}

Cette suite donne une approximation de la courbe cherchée sur [0 ;+\infty[. Plus h est proche de 0, meilleure est l'approximation.

On admet l'existence d'une fonction f dérivable sur \mathbb{R} vérifiant f'=f et f(0)=1.

On sait que pour tout réel a, la fonction f admet pour approximation affine au voisinage de a :

f(x)\approx f'(a)(x-a)+f(a)

Or :

f'(a)=f(a)

On obtient donc au voisinage de a :

f(x)\approx f(a)(x-a)+f(a)

En posant x=a+h avec h proche de 0, on a donc :

f(x)\approx f(a)h+f(a)

f(x)\approx f(a)(1+h)

Posons (x_0;y_0)=(0{,}1) et pour tout n\in\mathbb{N}, x_{n+1}=x_n+h avec h proche de 0.

Alors pour tout entier naturel n, on a :

f(x_{n+1})\approx f(x_n)(1+h)

Ainsi en posant y_{n+1}=y_n(1+h) pour tout entier naturel n, la suite de points de coordonnées (x_n;y_n) est bien une suite approchant la courbe de la fonction f.

En choisissant h=0{,}1, on obtient :

-

On peut également obtenir une approximation de la courbe cherchée sur ]-\infty ;0] en choisissant le réel h strictement négatif.

En choisissant h=−0{,}1, on obtient :

-
II

Généralités sur la fonction exponentielle

On définit la fonction exponentielle à partir de propriétés liées à la fonction et sa dérivée. Il en découle des propriétés algébriques et des règles de calcul particulières.

A

Définition de la fonction exponentielle

Il existe une unique fonction f, dérivable sur \mathbb{R}, telle que f'=f et f(0)=1.

Fonction exponentielle

La fonction dérivable sur \mathbb{R}, telle que f'=f et f(0)=1 est appelée fonction exponentielle. Elle est notée exp.

B

Les propriétés de la fonction exponentielle

Des propriétés particulières découlent de la définition de la fonction exponentielle.

exp(0)=1

La fonction exponentielle est strictement positive sur \mathbb{R} :

\forall x \in\mathbb{R}exp(x)\gt0

Pour tous réels x et y :

\exp(x+y)=\exp(x)\times \exp(y)

Soit x un réel. On a :

exp(3+2x)=exp(3)\times exp(2x)

Pour tous réels x et y

\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}

 Soit x un réel. On a :

exp(2x-4)=\dfrac{exp(2x)}{exp(4)}

Pour tout réel x et y

\exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}

exp(-5)=\dfrac{1}{exp(5)}

Pour tout réel x et pour tout entier relatif n

\exp(nx)=\left[\exp(x)\right]^n

Soit x un réel.

exp(2x)=\left( exp(x)\right)^2

L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée \text{e}. On a :

\text{e}\approx 2{,}718

Par extension, pour tout nombre réel x, on note :

\exp(x)=\text{e}^x

Pour tout entier relatif n :

 \exp(n)=\left[\exp(1)\right]^n

Or :

exp(1)=e

D'où :

exp(n)=e^n

Soit a un réel quelconque. La suite \left( \text{e}^{na}\right)_{n\in\mathbb{N}}  est une suite géométrique de raison q=\text{e}^a.

En prenant a=2, on obtient la suite géométrique u_n définie par :

\forall n \in \mathbb{N}u_n=\exp(2n)

Voici les premiers termes de cette suite :

-
III

Étude de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est une fonction strictement monotone. Cette monotonie stricte a des conséquences sur la résolution d'équations et d'inéquations contenant des expressions utilisant la fonction exponentielle.

A

Les variations de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}.

-
B

Équations et inéquations avec l'exponentielle

Les variations de la fonction exponentielle permettent de résoudre des équations et inéquations contenant des expressions utilisant la fonction exponentielle.

Pour tous réels a et b :

e^a=e^b \Leftrightarrow a=b

On cherche à résoudre l'équation suivante sur  \mathbb{R}  :

(E):e^{3x+5}=e^{x^2-x+3}

On sait que :

e^{3x+5}=e^{x^2-x+3}

\Leftrightarrow 3x+5=x^2-x+3

\Leftrightarrow x^2-4x-2=0

On résout cet équation du second degré.

\Delta=b^2-4ac=16-4(1)(-2)=16+8=24

\Delta\gt0   donc l'équation admet deux solutions réelles :

  • x_1=\dfrac{-b-\sqrt(\Delta)}{2a}=\dfrac{4-/sqrt(24)}{2}=\dfrac{4-2\sqrt(6)}{2}=2-\sqrt(6)
  • x_1=\dfrac{-b+\sqrt(\Delta)}{2a}=2+\sqrt(6)

Pour tous réels a et b :

e^a\gt e^b\Leftrightarrow a\gt b

On cherche à résoudre l'inéquation suivante sur  \mathbb{R}  :

(E):e^{x-1} \lt e^4

On sait que :

e^{x-1} \lt e^4

\Leftrightarrow x-1 \lt 4

\Leftrightarrow x \lt5

D'où :

S=\left]– \infty ;5\right[

Pour tous réels a et b :

e^a\lt e^b\Leftrightarrow a\lt b

On cherche à résoudre l'inéquation suivante sur  \mathbb{R}  :

(E):e^{3x} \gt e^{2x-1}

On sait que :

e^{3x} \gt e^{2x-1}

\Leftrightarrow 3x \gt 2x-1

\Leftrightarrow x \gt -1

D'où :

S=\left]– 1 ;+\infty\right[

En particulier :

e^x\gt1 \Leftrightarrow x\gt0

On déduit les propriétés précédentes de la stricte croissance de la fonction exponentielle sur \mathbb{R}.

Questions fréquentes

Quelles sont les matières disponibles sur Kartable ?

Sur Kartable, l'élève accède à toutes les matières principales de la primaire au lycée, y compris pour les spécialités et les options. Mathématiques, physique-chimie, SVT, sciences, français, littérature, histoire, géographie, enseignement moral et civique, SES, philosophie, anglais, allemand et espagnol.
Inscrivez-vous

Les cours sont-ils conformes aux programmes officiels de l'Education nationale ?

L'intégralité des cours sur Kartable est rédigée par des professeurs de l'Éducation nationale et est conforme au programme en vigueur, incluant la réforme du lycée de l'année 2019-2020.
Choisissez votre formule

L'élève peut-il accéder à tous les niveaux ?

Sur Kartable, l'élève peut accéder à toutes les matières dans tous les niveaux de son choix. Ainsi, il peut revenir sur les notions fondamentales qu'il n'aurait pas comprises les années précédentes et se perfectionner.
Plus d'info

Kartable est-il gratuit ?

L'inscription gratuite donne accès à 10 contenus (cours, exercices, fiches ou quiz). Pour débloquer l'accès illimité aux contenus, aux corrections d'exercices, mode hors-ligne et téléchargement en PDF, il faut souscrire à l'offre Kartable Premium.
Plus d'info

Qui rédige les cours de Kartable ?

L'intégralité des contenus disponibles sur Kartable est conçue par notre équipe pédagogique, composée de près de 200 enseignants de l'Éducation nationale que nous avons sélectionnés.
Afficher plus

Qu'est ce que le service Prof en ligne ?

L'option Prof en ligne est un service de chat en ligne entre élèves et professeurs. Notre Prof en ligne répond à toutes les questions sur les cours, exercices, méthodologie et aide au devoirs, pour toutes les classes et dans toutes les matières. Le service est ouvert du lundi au vendredi de 16h à 19h pour les membres ayant souscrit à l'option.
Choisissez votre formule