La construction de la courbe d'une nouvelle fonction
On se pose la question de l'existence d'une fonction égale à sa dérivée dont la valeur en 0 est 1. On admet l'existence d'une telle fonction et l'on construit une courbe approchant sa représentation graphique. Cette fonction est la fonction exponentielle.
Soit h un réel strictement positif. Soit la suite ((x_n ;y_n)) définie sur \mathbb{N} par :
\begin{cases}(x_0;y_0)=(0;1)\\\forall n \in \mathbb{N},(x_{n+1};y_{n+1})=(x_n+h;y_n(1+h))\end{cases}
Cette suite donne une approximation de la courbe cherchée sur [0 ;+\infty[. Plus h est proche de 0, meilleure est l'approximation.
On admet l'existence d'une fonction f dérivable sur \mathbb{R} vérifiant f'=f et f(0)=1.
On sait que pour tout réel a, la fonction f admet pour approximation affine au voisinage de a :
f(x)\approx f'(a)(x-a)+f(a)
Or :
f'(a)=f(a)
On obtient donc au voisinage de a :
f(x)\approx f(a)(x-a)+f(a)
En posant x=a+h avec h proche de 0, on a donc :
f(x)\approx f(a)h+f(a)
f(x)\approx f(a)(1+h)
Posons (x_0;y_0)=(0{,}1) et pour tout n\in\mathbb{N}, x_{n+1}=x_n+h avec h proche de 0.
Alors pour tout entier naturel n, on a :
f(x_{n+1})\approx f(x_n)(1+h)
Ainsi en posant y_{n+1}=y_n(1+h) pour tout entier naturel n, la suite de points de coordonnées (x_n;y_n) est bien une suite approchant la courbe de la fonction f.
En choisissant h=0{,}1, on obtient :
On peut également obtenir une approximation de la courbe cherchée sur ]-\infty ;0] en choisissant le réel h strictement négatif.
En choisissant h=-0{,}1, on obtient :
Généralités sur la fonction exponentielle
On définit la fonction exponentielle à partir de propriétés liées à la fonction et sa dérivée. Il en découle des propriétés algébriques et des règles de calcul particulières.
Définition de la fonction exponentielle
Il existe une unique fonction f, dérivable sur \mathbb{R}, telle que f'=f et f(0)=1.
Fonction exponentielle
La fonction dérivable sur \mathbb{R}, telle que f'=f et f(0)=1 est appelée fonction exponentielle. Elle est notée exp.
Les propriétés de la fonction exponentielle
Des propriétés particulières découlent de la définition de la fonction exponentielle.
exp(0)=1
La fonction exponentielle est strictement positive sur \mathbb{R} :
\forall x \in\mathbb{R}, exp(x)\gt0
Pour tous réels x et y :
\exp(x+y)=\exp(x)\times \exp(y)
Soit x un réel. On a :
exp(3+2x)=exp(3)\times exp(2x)
Pour tous réels x et y :
\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}
Soit x un réel. On a :
exp(2x-4)=\dfrac{exp(2x)}{exp(4)}
Pour tout réel x et y :
\exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}
exp(-5)=\dfrac{1}{exp(5)}
Pour tout réel x et pour tout entier relatif n :
\exp(nx)=\left[\exp(x)\right]^n
Soit x un réel.
exp(2x)=\left( exp(x)\right)^2
L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée \text{e}. On a :
\text{e}\approx 2{,}718
Par extension, pour tout nombre réel x, on note :
\exp(x)=\text{e}^x
Pour tout entier relatif n :
\exp(n)=\left[\exp(1)\right]^n
Or :
exp(1)=e
D'où :
exp(n)=e^n
Soit a un réel quelconque. La suite \left( \text{e}^{na}\right)_{n\in\mathbb{N}} est une suite géométrique de raison q=\text{e}^a.
En prenant a=2, on obtient la suite géométrique u_n définie par :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=\exp(2n)
Voici les premiers termes de cette suite :
Étude de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est une fonction strictement monotone. Cette monotonie stricte a des conséquences sur la résolution d'équations et d'inéquations contenant des expressions utilisant la fonction exponentielle.
Les variations de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}.
Équations et inéquations avec l'exponentielle
Les variations de la fonction exponentielle permettent de résoudre des équations et inéquations contenant des expressions utilisant la fonction exponentielle.
Pour tous réels a et b :
e^a=e^b \Leftrightarrow a=b
On cherche à résoudre l'équation suivante sur \mathbb{R} :
(E):e^{3x+5}=e^{x^2-x+3}
On sait que :
e^{3x+5}=e^{x^2-x+3}
\Leftrightarrow 3x+5=x^2-x+3
\Leftrightarrow x^2-4x-2=0
On résout cette équation du second degré.
\Delta=b^2-4ac=16-4(1)(-2)=16+8=24
\Delta\gt0 donc l'équation admet deux solutions réelles :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt(\Delta)}{2a}=\dfrac{4-\sqrt(24)}{2}=\dfrac{4-2\sqrt(6)}{2}=2-\sqrt(6)
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt(\Delta)}{2a}=2+\sqrt(6)
Pour tous réels a et b :
e^a\lt e^b\Leftrightarrow a\lt b\\
On cherche à résoudre l'inéquation suivante sur \mathbb{R} :
(E):e^{x-1} \lt e^4
On sait que :
e^{x-1} \lt e^4
\Leftrightarrow x-1 \lt 4
\Leftrightarrow x \lt5
D'où :
S=\left]– \infty ;5\right[
Pour tous réels a et b :
e^a\gt e^b\Leftrightarrow a\gt b
On cherche à résoudre l'inéquation suivante sur \mathbb{R} :
(E):e^{3x} \gt e^{2x-1}
On sait que :
e^{3x} \gt e^{2x-1}
\Leftrightarrow 3x \gt 2x-1
\Leftrightarrow x \gt -1
D'où :
S=\left]– 1 ;+\infty\right[
En particulier :
e^x\gt1 \Leftrightarrow x\gt0
On déduit les propriétés précédentes de la stricte croissance de la fonction exponentielle sur \mathbb{R}.