Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right)=2x^2+4x-5

Etape 1

Calcul de \alpha et de \beta

\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-4}{2\times2}=\dfrac{-4}{4}=-1

\beta=f\left(\alpha\right)=f\left(-1\right)=2\times\left(-1\right)^2+4\times\left(-1\right)-5=2-4-5=-7

Etape 2

Détermination du sens de variation

Si f est un polynôme du second degré de la forme ax^2+bx+c, alors :

Si a\gt0, f est strictement décroissante sur \left] -\infty;\alpha \right] et strictement croissante sur \left[ \alpha;+\infty \right[.
Si a\gt0, f est strictement croissante sur \left] -\infty;\alpha \right] et strictement décroissante sur \left[ \alpha;+\infty \right[.

Ici, a=2 donc a\gt0. On en déduit le tableau de variations de f :

Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right)=6x^2-4x+6

Etape 1

Calcul de \alpha et de \beta

\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{4}{2\times6}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}

\beta=f\left(\alpha\right)=f\left(\dfrac{1}{3}\right)=6\left( \dfrac{1}{3} \right)^2-4\times\dfrac{1}{3}+6=\dfrac{6}{9}-\dfrac{12}{9}+\dfrac{54}{9}=\dfrac{48}{9}=\dfrac{16}{3}

Etape 2

Détermination du sens de variation

Si f est un polynôme du second degré de la forme ax^2+bx+c, alors :

Si a\gt0, f est strictement décroissante sur \left] -\infty;\alpha \right] et strictement croissante sur \left[ \alpha;+\infty \right[.
Si a\gt0, f est strictement croissante sur \left] -\infty;\alpha \right] et strictement décroissante sur \left[ \alpha;+\infty \right[.

Ici, a=6 donc a\gt0. On en déduit le tableau de variations de f :

Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right)=-x^2+3x+7

Etape 1

Calcul de \alpha et de \beta

\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-3}{2\times\left(-1\right)}=\dfrac{-3}{-2}=\dfrac{3}{2}

\beta=f\left(\alpha\right)=f\left(\dfrac{3}{2}\right)=-\left( \dfrac{3}{2} \right)^2+3\times\dfrac{3}{2}+7=-\dfrac{9}{4}+\dfrac{18}{4}+\dfrac{28}{4}=\dfrac{37}{4}

Etape 2

Détermination du sens de variation

Si f est un polynôme du second degré de la forme ax^2+bx+c, alors :

Si a\gt0, f est strictement décroissante sur \left] -\infty;\alpha \right] et strictement croissante sur \left[ \alpha;+\infty \right[.
Si a\gt0, f est strictement croissante sur \left] -\infty;\alpha \right] et strictement décroissante sur \left[ \alpha;+\infty \right[.

Ici, a=-1 donc a\lt0. On en déduit le tableau de variations de f :

Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right)=3x^2+4x-10

Etape 1

Calcul de \alpha et de \beta

\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-4}{2\times3}=\dfrac{-4}{6}=-\dfrac{2}{3}

\beta=f\left(\alpha\right)=f\left(-\dfrac{2}{3}\right)=3\times\left( -\dfrac{2}{3} \right)^2+4\times\left( -\dfrac{2}{3} \right)-10=\dfrac{4}{3}-\dfrac{8}{3}-\dfrac{30}{3}=-\dfrac{34}{3}

Etape 2

Détermination du sens de variation

Si f est un polynôme du second degré de la forme ax^2+bx+c, alors :

Si a\gt0, f est strictement décroissante sur \left] -\infty;\alpha \right] et strictement croissante sur \left[ \alpha;+\infty \right[.
Si a\gt0, f est strictement croissante sur \left] -\infty;\alpha \right] et strictement décroissante sur \left[ \alpha;+\infty \right[.

Ici, a=3 donc a\gt0. On en déduit le tableau de variations de f :

Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right)=2x^2-5x+3

Etape 1

Calcul de \alpha et de \beta

\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{5}{2\times2}=\dfrac{5}{4}

\beta=f\left(\alpha\right)=f\left(\dfrac{5}{4}\right)=2\times\left( \dfrac{5}{4} \right)^2-5\times\dfrac{5}{4}+3=\dfrac{25}{8}-\dfrac{50}{8}+\dfrac{24}{8}=-\dfrac{1}{8}

Etape 2

Détermination du sens de variation

Si f est un polynôme du second degré de la forme ax^2+bx+c, alors :

Si a\gt0, f est strictement décroissante sur \left] -\infty;\alpha \right] et strictement croissante sur \left[ \alpha;+\infty \right[.
Si a\gt0, f est strictement croissante sur \left] -\infty;\alpha \right] et strictement décroissante sur \left[ \alpha;+\infty \right[.

Ici, a=2 donc a\gt0. On en déduit le tableau de variations de f :

Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right)=-2x^2+x-3

Etape 1

Calcul de \alpha et de \beta

\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-1}{2\times\left(-2\right)}=\dfrac{-1}{-4}=\dfrac{1}{4}

\beta=f\left(\alpha\right)=f\left(\dfrac{1}{4}\right)=-2\times\left( \dfrac{1}{4} \right)^2+\dfrac{1}{4}-3=-\dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{8}-\dfrac{24}{8}=-\dfrac{23}{8}

Etape 2

Détermination du sens de variation

Si f est un polynôme du second degré de la forme ax^2+bx+c, alors :

Si a\gt0, f est strictement décroissante sur \left] -\infty;\alpha \right] et strictement croissante sur \left[ \alpha;+\infty \right[.
Si a\gt0, f est strictement croissante sur \left] -\infty;\alpha \right] et strictement décroissante sur \left[ \alpha;+\infty \right[.

Ici, a=-2 donc a\lt0. On en déduit le tableau de variations de f :