Etudier les variations de f sur son ensemble de définition.
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=x^3+x^2-x+2
Calcul de f'\left(x\right)
La fonction f est une fonction polynôme, donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Ainsi, pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=3x^2+2x-1
Etude du signe de f'\left(x\right)
f' est une fonction trinôme du second degré, pour déterminer son signe, on peut calculer son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times3\times\left(-1\right)=4+12=16
\Delta\gt0, donc le trinôme est du signe de son terme de degré 2 (positif) à l'extérieur ses deux racines et du signe contraire à l'intérieur de ses racines.
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{2\times3}=\dfrac{-2-4}{6}=\dfrac{-6}{6}=-1
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{2\times3}=\dfrac{-2+4}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On obtient le tableau suivant :
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-x^3+2x^2+x-3
Calcul de f'\left(x\right)
La fonction f est une fonction polynôme, donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Ainsi, pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=-3x^2+4x+1
Etude du signe de f'\left(x\right)
f' est une fonction trinôme du second degré, pour déterminer son signe, on peut calculer son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=4^2-4\times\left(-3\right)\times1=16+12=28
\Delta\gt0, donc le trinôme est du signe de son terme de degré 2 (négatif) à l'extérieur ses deux racines et du signe contraire à l'intérieur de ses racines.
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4-\sqrt{28}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{-4-2\sqrt{7}}{-6}=\dfrac{2+\sqrt{7}}{3}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4+\sqrt{28}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{-4+2\sqrt{7}}{-6}=\dfrac{2-\sqrt{7}}{3}
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On obtient le tableau suivant :
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-2x^3+3x^2-5x+1
Calcul de f'\left(x\right)
La fonction f est une fonction polynôme, donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Ainsi, pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=-6x^2+6x-5
Etude du signe de f'\left(x\right)
f' est une fonction trinôme du second degré, pour déterminer son signe, on peut calculer son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=6^2-4\times\left(-6\right)\times\left(-5\right)=36-120=-84
\Delta\lt0, donc le trinôme est du signe de son terme de degré 2 (négatif) pour tout réel x.
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On obtient le tableau suivant :
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=\left(-3x+2\right)\left(2x^2-x+4\right)
Calcul de f'\left(x\right)
La fonction f est une fonction polynôme, donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
On constate que : f=u\times v avec pour tout x\in\mathbb{R} :
- u\left(x\right)=-3x+2
- v\left(x\right)=2x^2-x+4
Donc f'=u'v+uv' avec pour tout x\in\mathbb{R} :
- u'\left(x\right)=-3
- v'\left(x\right)=4x-1
Ainsi, pour tout x\in\mathbb{R} on a :
f'\left(x\right)=-3\left(2x^2-x+4\right)+\left(-3x+2\right)\left(4x-1\right)
f'\left(x\right)=-6x^2+3x-12-12x^2+3x+8x-2
f'\left(x\right)=-18x^2+14x-14
f'\left(x\right)=2\left(-9x^2+7x-7\right)
Etude du signe de f'\left(x\right)
2\gt0, donc f'\left(x\right) a le même signe qu -9x^2+7x-7
-9x^2+7x-7 est un trinôme du second degré, pour déterminer son signe, on peut calculer son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=7^2-4\times\left(-9\right)\times\left(-7\right)=49-252=-203
\Delta\lt0, donc le trinôme est du signe de son terme de degré 2 (négatif) pour tout réel x.
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On obtient le tableau suivant :
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=\left(-x+1\right)\left(-2x^2+2x+1\right)
Calcul de f'\left(x\right)
La fonction f est une fonction polynôme, donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
On constate que : f=u\times v avec pour tout x\in\mathbb{R} :
- u\left(x\right)=-x+1
- v\left(x\right)=-2x^2+2x+1
Donc f'=u'v+uv' avec pour tout x\in\mathbb{R} :
- u'\left(x\right)=-1
- v'\left(x\right)=-4x+2
Ainsi, pour tout x\in\mathbb{R} on a :
f'\left(x\right)=-1\left(-2x^2+2x+1\right)+\left(-x+1\right)\left(-4x+2\right)
f'\left(x\right)=2x^2-2x-1+4x^2-2x-4x+2
f'\left(x\right)=6x^2-8x+1
Etude du signe de f'\left(x\right)
f' est une fonction trinôme du second degré, pour déterminer son signe, on peut calculer son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=\left(-8\right)^2-4\times6\times1=64-24=40
\Delta\gt0, donc le trinôme est du signe de son terme de degré 2 (positif) à l'extérieur ses deux racines et du signe contraire à l'intérieur de ses racines.
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{8-\sqrt{40}}{2\times6}=\dfrac{8-2\sqrt{10}}{12}=\dfrac{4-\sqrt{10}}{6}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{8+\sqrt{40}}{2\times6}=\dfrac{8+2\sqrt{10}}{12}=\dfrac{4+\sqrt{10}}{6}
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative.
On obtient le tableau suivant :
