Terminale ES 2016-2017
Kartable
Terminale ES 2016-2017

Etudier la monotonie d'une suite

Méthode 1

En étudiant le signe de un+1un

On cherche à déterminer la monotonie d'une suite définie par récurrence ou explicitement en fonction de n.

Soit (un) la suite définie par son premier terme u0=0 et, pour tout entier naturel n, par :

un+1=un+3

Etape 1

Calculer et simplifier un+1un

On calcule et simplifie la différence un+1un de manière à pouvoir déterminer son signe.

Pour tout entier naturel n :

un+1un=3

Etape 2

Déterminer le signe de un+1un

On détermine le signe de la différence un+1un.

Pour tout entier naturel n, un+1un>0.

Etape 3

Conclure

  • Si le signe de la différence est positif ou nul pour tout n, la suite est croissante.
  • Si le signe de la différence est négatif ou nul pour tout n, la suite est décroissante.
  • Si la différence change de signe en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.

Pour tout entier naturel n, un+1un>0.

La suite est donc croissante.

Méthode 2

Dans le cas d'une suite à termes strictement positifs, en comparant un+1un à 1

On cherche à déterminer la monotonie d'une suite définie par récurrence ou explicitement en fonction de n. Attention, cette méthode n'est valable que si la suite est à termes strictement positifs.

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par :

un=enn(n+1)

Etape 1

Montrer que les termes de la suite sont strictement positifs

On vérifie tout d'abord, éventuellement par récurrence si la suite est définie comme telle, que tous les termes de la suite sont strictement positifs.

Pour tout entier naturel n non nul :

  • en>0
  • n>0
  • n+1>0

On a donc, pour tout entier naturel n non nul :

un>0

Etape 2

Calculer un+1un

Pour tout entier naturel n, on calcule le quotient un+1un et on le simplifie de manière à pouvoir facilement le comparer à 1.

Soit n un entier naturel non nul :

un+1un=e(n+1)(n+1)(n+2)enn(n+1)=e(n+1)(n+1)(n+2)×n(n+1)en

un+1un=e1×n(n+2)

Etape 3

Comparer un+1un à 1

On compare, pour tout entier naturel n, le quotient un+1un à 1.

On a, pour tout entier naturel n non nul :

  • 0e11
  • 0nn+21

Donc, pour tout entier naturel n non nul :

0e1×nn+21

Soit :

un+1un1

Etape 4

Conclure

  • Si le quotient est supérieur ou égal à 1 pour tout n, la suite est croissante.
  • Si le quotient est inférieur ou égal à 1 pour tout n, la suite est décroissante.
  • Si la position du quotient par rapport à 1 varie en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.

Pour tout entier naturel n non nul, un+1un1.

Comme la suite est à termes strictement positifs, en multipliant l'inégalité précédente par un, pour tout entier naturel n non nul, on obtient :

un+1un

La suite est donc décroissante.

Méthode 3

En étudiant les variations de f, lorsque n, un=f(n)

Si la suite est définie de manière explicite par un=f(n), on peut étudier les variations de la fonction f.

Soit (un) la suite définie par, pour tout entier naturel n :

un=en2

Etape 1

Identifier la fonction f

En remplaçant l'entier n par un réel x, on obtient la fonction f à étudier.

Ici, on définit la fonction f suivante :

f:xex2

Etape 2

Étudier les variations de f

On étudie les variations de la fonction f sur [n0;+[n0 est le rang du premier terme de la suite.

f est dérivable sur + et :

f:x2xex2

Or, pour tout réel x positif :

  • 2x0
  • ex20

Ainsi, pour tout réel x positif :

f(x)0

Donc f est décroissante sur +.

Etape 3

Conclure

  • Si f est croissante sur [n0;+[, la suite est croissante.
  • Si f est décroissante sur [n0;+[, la suite est décroissante.

f est décroissante sur + donc la suite est décroissante.

Méthode 4

En utilisant une démonstration par récurrence

Si la suite est définie par récurrence et que les autres méthodes n'aboutissent pas, on peut utiliser une démonstration par récurrence pour prouver la monotonie de la suite.

Soit (un) la suite définie par son premier terme u0=1 et pour tout entier naturel n par :

un+1=eun

Etape 1

Conjecturer la monotonie de la suite

On étudie les premiers termes de la suite pour conjecturer la monotonie éventuelle de la suite.

On a :

  • u0=1
  • u1=e1=e

Comme 1e, on peut conjecturer que la suite est croissante.

Etape 2

Démontrer la conjecture par récurrence

  • Si la suite semble croissante, on montre alors par récurrence que, pour tout entier naturel n, unun+1.
  • Si la suite semble décroissante, on montre alors par récurrence que, pour tout entier naturel n, unun+1.

On montre par récurrence que pour tout entier naturel n, unun+1.

Initialisation : Pour n=0, on a bien u0u1

Hérédité : Soit n un entier naturel. On suppose que unun+1. On montre alors que un+1un+2.

On a supposé que :

unun+1

Comme la fonction exponentielle est croissante sur , on a donc :

euneun+1

Soit :

un+1un+2

Conclusion : La proposition est initialisée et héréditaire. Donc, pour tout entier naturel n, on a unun+1.

Etape 3

Conclure

  • Si on a montré que, pour tout entier naturel n, unun+1, on peut conclure que la suite est croissante.
  • Si on a montré que, pour tout entier naturel n, unun+1, on peut conclure que la suite est décroissante.

On peut donc conclure que la suite est croissante.

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