On définit la suite u par :
\begin{cases}u_0=0\\u_{n+1}=\dfrac{-1}{3}u_n+4\end{cases}
Par quelles valeurs la suite u est-elle bornée ?
Pour déterminer un encadrement d'une suite non définie explicitement, on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
u_0=0, u_1=4, u_2\approx 2{,}67, u_3\approx 3{,}11, u_4\approx 2{,}96
Les premiers termes de la suite u laissent penser que 0\leq u_n\leq 4 pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
0\leq u_n\leq 4
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a u_0=0 et 0\leq 0\leq 4.
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire 0\leq u_n\leq 4.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire 0\leq u_{n+1}\leq 4.
Par hypothèse de récurrence, on a :
0\leq u_n \leq 4
La fonction f:x\mapsto \dfrac{-1}{3}x+4 est strictement décroissante sur \mathbb{R}.
On en déduit :
\dfrac{-1}{3}\times 0+4\geq \dfrac{-1}{3}\times u_n+4\geq \dfrac{-1}{3}\times 4+4
Soit :
4\geq u_{n+1}\geq \dfrac{8}{3}
On a bien 0\leq u_{n+1}\leq 4.
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
En particulier, on a donc :
0 \leq u_n \leq 4 pour tout n \geq 0
On définit la suite u par :
\begin{cases}u_0=6\\u_{n+1}=\sqrt{u_n +4}\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
Par quelles valeurs est bornée la suite u ?
Pour déterminer un encadrement d'une suite non définie explicitement, on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
u_0=6, u_1\approx 3{,}16, u_2\approx 2{,}67, u_3\approx 2{,}58, u_4\approx 2{,}57
Les premiers termes de la suite u laissent penser que 2\leq u_n\leq 6 pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
2\leq u_n\leq 6
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a u_0=6 et 2\leq 6\leq 6.
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire 2\leq u_n\leq 6.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire 2\leq u_{n+1}\leq 6.
Par hypothèse de récurrence, on a :
2\leq u_n \leq 6
La fonction f:x\mapsto \sqrt{x+4} est strictement croissante sur [-4;+\infty[.
En effet, la fonction f est dérivable sur ]-4;+\infty[ et pour tout x>4, f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}.
On a donc f'(x)>0 sur ]-4;+\infty[ et f est strictement croissante sur [4;+\infty[.
On en déduit :
\sqrt{2+4}\leq\sqrt{u_n+4}\leq \sqrt{6+4}
Soit :
\sqrt{6}\leq u_{n+1}\leq \sqrt{10}
On a bien 2\leq u_{n+1}\leq 6.
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
En particulier, on a donc :
2 \leq u_n \leq 6 pour tout n \geq 0
On définit la suite u par :
\begin{cases}u_0=5\\u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n +1\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
Par quelles valeurs la suite u est-elle bornée ?
Pour déterminer un encadrement d'une suite non définie explicitement, on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
u_0=5, u_1=3{,}5, u_2=2{,}75, u_3=2{,}375, u_4=2{,}187\ 5
Les premiers termes de la suite u laissent penser que 2\leq u_n\leq 5 pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
2\leq u_n\leq 5
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a u_0=5 et 2\leq 5\leq 5.
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie.
Soit n un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire 2\leq u_n\leq 5.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire 2\leq u_{n+1}\leq 5.
Par hypothèse de récurrence, on a :
2\leq u_n \leq 5
La fonction f:x\mapsto \dfrac{1}{2}x+1 est strictement croissante sur \mathbb{R}.
On en déduit :
\dfrac{1}{2}\times 2+1\leq \dfrac{1}{2}\times u_n+1\leq \dfrac{1}{2}\times 5+1
Soit :
2\leq u_{n+1}\leq 3{,}5<5
On a bien 2\leq u_{n+1}\leq 5.
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
En particulier, on a donc :
2 \leq u_n \leq 5 pour tout n \geq 0
On définit la suite u par :
\begin{cases}u_0=5\\u_{n+1}=2\sqrt{u_n -1}\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
Par quelles valeurs la suite u est-elle bornée ?
Pour déterminer un encadrement d'une suite non définie explicitement, on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
u_0=5, u_1=4, u_2\approx 3{,}46, u_3\approx 3{,}14, u_4\approx 2{,}93
Les premiers termes de la suite u laissent penser que 2\leq u_n\leq 5 pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
2\leq u_n\leq 5
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a u_0=5 et 2\leq 5\leq 5.
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire 2\leq u_n\leq 5.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire 2\leq u_{n+1}\leq 5.
Par hypothèse de récurrence, on a :
2\leq u_n \leq 5
La fonction f:x\mapsto 2\sqrt{x-1} est strictement croissante sur [1;+\infty[.
En effet, la fonction f est dérivable sur ]1;+\infty[ et pour tout réel x>1, on a :
f'(x)=2\times \dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}
Donc f'(x)>0 sur ]1;+\infty[ et la fonction f est strictement croissante sur [1;+\infty[.
On en déduit :
2\sqrt{2-1}\leq 2\sqrt{u_n-1}\leq 2\sqrt{5-1}
Soit :
2\leq u_{n+1}\leq 4<5
On a bien 2\leq u_{n+1}\leq 5.
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
En particulier, on a donc :
2 \leq u_n \leq 5 pour tout n \geq 0
On définit la suite u par :
\begin{cases}u_0=4\\u_{n+1}=\dfrac{5}{6-u_n}\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
Par quelles valeurs la suite u est-elle bornée ?
Pour déterminer un encadrement d'une suite non définie explicitement, on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
u_0=4, u_1=2{,}5, u_2\approx 1{,}43, u_3\approx 1{,}09, u_4\approx 1{,}02
Les premiers termes de la suite u laissent penser que 1\leq u_n\leq 4 pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
1\leq u_n\leq 4
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a u_0=4 et 1\leq 4\leq 4.
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire 1\leq u_n\leq 4.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire 1\leq u_{n+1}\leq 4.
Par hypothèse de récurrence, on a : 1\leq u_n \leq 4.
La fonction f:x\mapsto \dfrac{5}{6-x} est strictement croissante sur ]-\infty;6[.
En effet, la fonction f est dérivable sur ]-\infty[;6 et pour tout réel x<6, on a :
f'(x)=5\times \dfrac{-(-1)}{(6-x)^2}=\dfrac{5}{(6-x)^2}
Donc f'(x)>0 sur ]-\infty;6[ et la fonction f est strictement croissante sur ]-\infty;6[.
On en déduit :
\dfrac{5}{6-1}\leq \dfrac{5}{6-u_n}\leq \dfrac{5}{6-4}
Soit :
1\leq u_{n+1}\leq 2{,}5<4
On a bien 1\leq u_{n+1}\leq 4.
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
En particulier, on a donc :
1 \leq u_n \leq 4 pour tout n \geq 0