On définit la suite u par :
\begin{cases}u_0=0\\u_{n+1}=\dfrac{-1}{3}u_n+4\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
Par quelle valeur la suite u est-elle majorée ?
Pour déterminer un majorant d'une suite non définie explicitement, on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
u_0=0, u_1=4, u_2\approx 2{,}67, u_3\approx 3{,}11, u_4\approx 2{,}96.
Les premiers termes de la suite u laissent penser que 0\leq u_n\leq 4 pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
0\leq u_n\leq 4
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a u_0=0 et 0\leq 0\leq 4.
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que, pour tout entier naturel n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie.
Soit n un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire 0\leq u_n\leq 4.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire 0\leq u_{n+1}\leq 4.
Par hypothèse de récurrence, on a :
u_n \leq 4
La fonction x\mapsto -\dfrac{1}{3}x+4 est strictement décroissante sur \mathbb{R}.
On en déduit :
\dfrac{-1}{3}\times 0+4\geq \dfrac{-1}{3}u_n +4\geq \dfrac{-1}{3} \times 4+4
Soit :
4\geq u_{n+1}\geq \dfrac{8}{3}
On a donc bien 0\leq u_{n+1}\leq 4.
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
En particulier, on a donc :
u_n \leq 4 pour tout n \geq 0 .
On définit la suite u par :
\begin{cases}u_0=5\\u_{n+1}=2\sqrt{u_n}\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
Par quelle valeur la suite u est-elle majorée ?
Pour déterminer un majorant d'une suite non définie explicitement, on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
u_0=5, u_1\approx 4{,}47, u_2\approx 4{,}23, u_3\approx 4{,}11, u_4\approx 4{,}06
Les premiers termes de la suite u laissent penser que 0\leq u_n\leq 5 pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
0\leq u_n\leq 5
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a u_0=5 et 0\leq 0 \leq 5 .
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire 0\leq u_n\leq 5.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire 0\leq u_{n+1}\leq 5.
Par hypothèse de récurrence, on a :
0\leq u_n \leq 5
La fonction x\mapsto 2\sqrt{x} est strictement croissante sur \mathbb{R}_+.
On en déduit :
2\sqrt{0}\leq 2\sqrt{u_n}\leq 2\sqrt{5}
Soit :
0\leq u_{n+1}\leq 2\sqrt{5}<5
On a bien :
0\leq u_{n+1}\leq 5
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
En particulier, on a donc :
u_n \leq 5 pour tout n \geq 0
On définit la suite (u_n)_{n\geq 0} par :
\begin{cases}u_0=\dfrac{1}{2}\\u_{n+1}=2u_n-1\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
Par quelle valeur la suite (u_n)_{n\geq 0} est-elle majorée ?
Pour déterminer un majorant d'une suite non définie explicitement, on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
u_0=0{,}5, u_1=0, u_2=-1, u_3=-3, u_4=-7
Les premiers termes de la suite u laissent penser que u_n\leq 0{,}5 pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
u_n\leq 0{,}5
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a u_0=\dfrac{1}{2} et \dfrac{1}{2}\leq 0{,}5 .
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire u_n\leq 0{,}5.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire u_{n+1}\leq 0{,}5.
Par hypothèse de récurrence, on a :
u_n \leq 0{,}5
La fonction x\mapsto 2x-1 est strictement croissante sur \mathbb{R}.
On en déduit :
2u_n -1\leq 2\times 0{,}5-1
Soit :
u_{n+1} \leq 0
On a donc bien u_{n+1}\leq 0{,}5.
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
En particulier, on a donc :
u_n \leq 0{,}5 pour tout n \geq 0
On définit la suite u par :
\begin{cases}u_0=1\\u_{n+1}=-0{,}1u_n^2+4\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
Par quelle valeur la suite u est-elle majorée ?
Pour déterminer un majorant d'une suite non définie explicitement, on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
u_0=1, u_1=3{,}9, u_2=2{,}479, u_3\approx 3{,}39, u_4\approx 2{,}5
Les premiers termes de la suite u laissent penser que 0\leq u_n\leq 4 pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
0\leq u_n\leq 4
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a u_0=1 et 0\leq 1 \leq 4 .
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire 0\leq u_n\leq 4.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire 0\leq u_{n+1}\leq 4.
Par hypothèse de récurrence, on a :
u_n \leq 4
La fonction x\mapsto -0{,}1x^2+4 est strictement décroissante sur \mathbb{R}_+.
En effet, il s'agit d'une fonction polynôme du second degré du type x\mapsto ax^2+bx+c avec a=-0{,}1, b=0 et c=4.
Comme a=-0{,}1, la parabole représentant cette fonction est orientée « vers le bas ».
L'abscisse de son sommet est :
\dfrac{-b}{2a}=0
Cette fonction est bien décroissante sur \mathbb{R}_+.
On en déduit :
-0{,}1\times 0^2+4\geq -0{,}1\times u_n^2+4\geq -0{,}1\times 4^2+4
Soit :
4\geq u_{n+1}\geq 2{,}4
On a donc bien 0\leq u_{n+1}\leq 4.
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
En particulier, on a donc :
u_{n} \leq 4 pour tout n \geq 0
On définit la suite u par :
\begin{cases}u_0=6\\u_{n+1}=\sqrt{5u_n}\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
Par quelle valeur la suite u est-elle majorée ?
Pour déterminer un majorant d'une suite non définie explicitement, on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
u_0=6, u_1\approx 5{,}48, u_2\approx 5{,}23, u_3\approx 5{,}12, u_4\approx 5{,}06
Les premiers termes de la suite u laissent penser que 0\leq u_n\leq 6 pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
0\leq u_n\leq 6
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a u_0=6 et 0\leq 6\leq 6.
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie.
Soit n un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire 0\leq u_n\leq 6.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire 0\leq u_{n+1}\leq 6.
Par hypothèse de récurrence, on a :
0\leq u_n \leq 6
La fonction x\mapsto \sqrt{5x} est strictement croissante sur \mathbb{R}_+.
On en déduit :
\sqrt{5\times 0}\leq \sqrt{5\times u_n}\leq \sqrt{5\times 6}
Soit :
0\leq u_{n+1}\leq \sqrt{30}<6
On a donc bien 0\leq u_{n+1}\leq 6.
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
En particulier, on a donc :
u_{n} \leq 6 pour tout n \geq 0