On considère dans cet exercice une suite (u)_n définie sur \mathbb{N} par :
u_n = q^n avec q un réel
Quel est l'énoncé de l'inégalité de Bernoulli ?
D'après le cours, l'inégalité de Bernoulli stipule que pour tout entier naturel n et a >0 , on a : (1+a)^n \geq 1+na .
On considère dans cet exercice une suite (u)_n définie sur \mathbb{N} par :
u_n = q^n avec q un réel
On suppose dans cette question que q > 1 .
D'après la question précédente, quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } u_n ?
On pose :
q=a+1 \Leftrightarrow a=q-1
Comme q>1, on a :
a> 0
On peut donc ici utiliser l'inégalité de Bernoulli :
Pour tout entier n on a : (1+a)^n > 1+na .
\Leftrightarrow q^n > 1+(q-1)n , en remplaçant par la valeur de q.
Or, comme q>1, q-1 > 0 .
Donc \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } 1+(q-1)n = +\infty .
La suite (u)_n est minorée par la suite de terme général 1+(q-1)n qui diverge vers +\infty quand n tend vers +\infty.
Ainsi, d'après le théorème de comparaison à l'infini : \lim\limits_{x \rightarrow + \infty} u_n = +\infty .
On considère dans cet exercice une suite (u)_n définie sur \mathbb{N} par :
u_n = q^n avec q un réel
On suppose dans cette question que -1<q < 1 et q \neq 0 .
D'après la question précédente, quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } u_n ?
On distingue deux cas.
- Cas 1 : 0<q<1
0< q < 1 \Leftrightarrow p > 1
D'après la question précédente, comme p>1 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty } p^n = +\infty .
La fonction inverse est définie en +\infty et \lim\limits_{x \rightarrow + \infty } \dfrac{1}{x} = 0 .
Par composition de limite, on obtient alors : \lim\limits_{n \rightarrow + \infty } \dfrac{1}{p^n} = 0 .
Or \dfrac{1}{p^n} = q^n donc : \lim\limits_{n + \rightarrow + \infty }q^n = 0 .
- Cas 2 : -1<q<0
On pose p = |q| . Ainsi 0<p<1 et d'après le cas 1 : \lim\limits_{n\rightarrow +\infty } p^n = 0 .
Ainsi \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} |q|^n = 0 .
Finalement on en déduit que :
\lim\limits_{n + \rightarrow + \infty }q^n = 0
Ainsi, pour tout q \in ]-1;1[ et q \neq 0 , on a :
\lim\limits_{n + \rightarrow + \infty }q^n = 0
On considère dans cet exercice une suite (u)_n définie sur \mathbb{N} par :
u_n = q^n avec q un réel
On suppose dans cette question que q<-1.
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } u_n ?
On calcule les premiers termes de la suite en posant q = (-1) \times p .
On a alors p>1 et u_n = (-1)^n p^n .
u_0=1
u_1 = -p
u_2 = p^2
u_3 = -p^3
Comme la suite définie par v_n = p^n est divergente vers + \infty d'après la question 2, la suite u_n est une suite alternée qui pour des indices pairs prend des valeurs qui tendent vers +\infty et pour des indices impairs des valeurs qui tendent vers -\infty.
La suite (u)_n n'admet donc pas de limite en +\infty.