On rappelle que :
\sum_{k=1}^n k = 1+2+...+n
Peut-on affirmer que \sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2} ?
Pour démontrer une égalité, on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
Pour tout entier naturel non nul n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel non nul n.
Initialisation :
On a \sum_{k=1}^{1}k=1 et \dfrac{1(1+1)}{2}=\dfrac{2}{2}=1.
\mathcal{P}_1 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel non nul n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel non nul quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire \sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire \sum_{k=1}^{n+1}k=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}.
On a :
\sum_{k=1}^{n+1}k=\sum_{k=1}^{n}k+(n+1)
Par hypothèse de récurrence, on a :
\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}
On en déduit :
\sum_{k=1}^{n+1}k=\dfrac{n(n+1)}{2}+(n+1)
Soit :
\sum_{k=1}^{n+1}k=\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{2(n+1)}{2}
\sum_{k=1}^{n+1}k=\dfrac{n(n+1)+2(n+1)}{2}
En factorisant le numérateur du quotient par (n+1), on obtient :
\sum_{k=1}^{n+1}k=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 1 et héréditaire à partir du rang 1, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel non nul n.
On peut donc affirmer que pour tout n \geq 1 , on a :
\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}
On rappelle que :
\sum_{k=1}^n k = 1+2+...+n
Peut-on affirmer que \sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} ?
Pour démontrer une égalité, on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
Pour tout entier naturel non nul n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel non nul n.
Initialisation :
On a \sum_{k=1}^{1}k^2=1 et \dfrac{1(1+1)(2\times 1+1)}{6}=\dfrac{6}{6}=1.
\mathcal{P}_1 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel non nul n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel non nul quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire \sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire \sum_{k=1}^{n+1}k^2=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}.
On a :
\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\sum_{k=1}^{n}k^2+(n+1)^2
Par hypothèse de récurrence, on a :
\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
On en déduit :
\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2
Soit :
\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\dfrac{6(n+1)^2}{6}
\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}
En factorisant le numérateur du quotient par (n+1), on obtient :
\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\dfrac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{2}
\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\dfrac{(n+1)\left(2n^2+7n+6\right)}{2}
Or, pour tout entier naturel non nul n, on a :
(n+2)(2n+3)=2n^2+3n+4n+6=2n^2+7n+6
On a donc bien :
\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 1 et héréditaire à partir du rang 1, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel non nul n.
On peut donc affirmer que pour tout n \geq 1 , on a :
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
On rappelle que :
\sum_{k=1}^n k = 1+2+...+n
n! = 1 \times 2 \times ... \times n
Peut-on affirmer que \sum_{k=1}^{n-1} k\cdot k! = n!-1 pour tout n \geq 2 ?
Pour démontrer une égalité on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
Pour tout entier naturel n\geq 2, on note \mathcal{P}_n la proposition :
\sum_{k=1}^{n-1}k\cdot k!=n!-1
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n\geq 2.
Initialisation :
On a \sum_{k=1}^{1}k\cdot k!=1\times 1!=1 et 2!-1=2-1=1.
\mathcal{P}_2 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n\geq 2 :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire \sum_{k=1}^{n-1}k\cdot k!=n!-1.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire \sum_{k=1}^{n}k\cdot k!=(n+1)!-1.
On a :
\sum_{k=1}^{n}k\cdot k!=\sum_{k=1}^{n-1}k\cdot k!+n\cdot n!
Par hypothèse de récurrence, on a :
\sum_{k=1}^{n-1}k\cdot k!=n!-1
On en déduit :
\sum_{k=1}^{n}k\cdot k!=n!-1+n\cdot n!
Or :
n\cdot n!=(n+1-1)\cdot n!=(n+1)\cdot n!-n!=(n+1)!-n!
On en déduit :
\sum_{k=1}^{n}k\cdot k!=(n+1)!-1
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 2 et héréditaire à partir du rang 2, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n\geq 2.
On peut donc affirmer que pour tout n\geq 2 :
\sum_{k=1}{n-1} k\cdot k! = n! -1
On définit la suite u par :
\begin{cases}u_0=0\\u_{n+1} =u_n +3n(n+1) + 1\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
Peut-on affirmer que pour tout n\geq 0 on a : u_n = n^3 ?
Pour démontrer une égalité, on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
u_n=n^3
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a u_0=0 et 0^3=0.
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire u_n=n^3.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire u_{n+1}=(n+1)^3.
On a :
u_{n+1}=u_n+3n(n+1)+1
Par hypothèse de récurrence, on a :
u_n=n^3
On en déduit :
u_{n+1}=n^3+3n(n+1)+1
u_{n+1}=n^3+3n^2+3n+1
Or, pour tout entier naturel n, on a :
(n+1)^3=(n+1)(n+1)^2=(n+1)\left(n^2+2n+1\right)=n^3+3n^2+3n+1
On en déduit :
u_{n+1}=(n+1)^3
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
On peut donc affirmer que pour tout n\geq 0 :
u_n=n^3
On définit la suite u par :
\begin{cases}u_0=4\\u_{n+1} =2u_n-7\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
Peut-on affirmer que pour tout n\geq 0 on a : u_n = 7-3\times 2^n ?
Pour démontrer une égalité, on peut utiliser un raisonnement par récurrence.
Pour tout entier naturel n, on note \mathcal{P}_n la proposition :
u_n=7-3\times 2^n
On cherche à montrer, par récurrence, que \mathcal{P}_n est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
On a u_0=4 et 7-3\times 2^0=7-3=4.
\mathcal{P}_0 est vraie.
\mathcal{P}_n est initialisée.
Hérédité :
On cherche à montrer que pour tout entier naturel n :
\mathcal{P}_n vraie \Rightarrow \mathcal{P}_{n+1} vraie
Soit n un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_n est vraie, c'est-à-dire u_n=7-3\times 2^n.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{n+1} est vraie, c'est-à-dire u_{n+1}=7-3\times 2^{n+1}.
On a :
u_{n+1}=2u_n-7
Par hypothèse de récurrence, on a :
u_n=7-3\times 2^n
On en déduit :
u_{n+1}=2\left(7-3\times 2^n\right)-7
u_{n+1}=14-2\times 3\times 2^n-7
u_{n+1}=7-3\times 2\times 2^n
u_{n+1}=7-3\times 2^{n+1}
\mathcal{P}_{n+1} est vraie.
\mathcal{P}_{n} est héréditaire.
Conclusion :
Initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, \mathcal{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
On peut donc affirmer que pour tout n\geq 0 :
u_n = 7-3\times 2^n