Démontrer une égalité par récurrenceExercice

On rappelle que : 
\sum_{k=1}^n k = 1+2+...+n

Peut-on affirmer que \sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}  ? 

On rappelle que : 
\sum_{k=1}^n k = 1+2+...+n

Peut-on affirmer que \sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}  ? 

On rappelle que :
\sum_{k=1}^n k = 1+2+...+n
n! = 1 \times 2 \times ... \times n

Peut-on affirmer que \sum_{k=1}^{n-1} k\cdot k! = n!-1 pour tout n \geq 2 ?

On définit la suite u par : 
\begin{cases}u_0=0\\u_{n+1} =u_n +3n(n+1) + 1\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}

Peut-on affirmer que pour tout n\geq 0 on a : u_n = n^3 ?

On définit la suite u par :
\begin{cases}u_0=4\\u_{n+1} =2u_n−7\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}

Peut-on affirmer que pour tout n\geq 0 on a : u_n = 7−3\times 2^n ?