On définit la suite (u_n)_n par :
u_n = \dfrac{\cos(n)}{n}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } u_n ?
Pour déterminer la limite d'une suite définie explicitement, on peut utiliser le théorème des gendarmes. Il faut pour cela déterminer un encadrement de la suite.
D'après le cours sur les fonctions trigonométriques, pour tout n \in \mathbb{N} :
-1 \leq \cos(n) \leq 1
\Leftrightarrow \dfrac{-1}{n} \leq u_n \leq \dfrac{1}{n} pour tout n\geq 1
Or :
- \lim\limits_{x \rightarrow + \infty } \dfrac{-1}{n} = 0
- \lim\limits_{x \rightarrow + \infty } \dfrac{1}{n} = 0
Ainsi, d'après le théorème des gendarmes (aussi appelé théorème d'encadrement), on a :
\lim\limits_{x \rightarrow + \infty } u_n = 0
On définit la suite (u_n)_n par :
u_n =1+ \dfrac{\sin(n)}{n}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } u_n ?
Pour déterminer la limite d'une suite définie explicitement, on peut utiliser le théorème des gendarmes. Il faut pour cela déterminer un encadrement de la suite.
D'après le cours sur les fonctions trigonométriques, pour tout n \in \mathbb{N} :
-1 \leq \sin(n) \leq 1
\Leftrightarrow \dfrac{-1}{n} \leq \dfrac{\sin(n) }{n}\leq \dfrac{1}{n} pour tout n\geq 1
\Leftrightarrow 1+\dfrac{-1}{n} \leq u_n \leq 1+ \dfrac{1}{n} pour tout n\geq 1
Or :
- \lim\limits_{x \rightarrow + \infty } \dfrac{-1}{n} +1 = 1
- \lim\limits_{x \rightarrow + \infty } \dfrac{1}{n} + 1 = 1
Ainsi, d'après le théorème des gendarmes (aussi appelé théorème d'encadrement), on a :
\lim\limits_{x \rightarrow + \infty } u_n = 1
On définit la suite (u_n)_n par :
u_n = \dfrac{\sin(n)^2}{n}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } u_n ?
Pour déterminer la limite d'une suite définie explicitement, on peut utiliser le théorème des gendarmes. Il faut pour cela déterminer un encadrement de la suite.
D'après le cours sur les fonctions trigonométriques, pour tout n \in \mathbb{N} :
-1 \leq \sin(n) \leq 1
Comme la fonction carré n'est pas monotone sur [-1;1] on ne peut pas composer l'inéquation. On dissocie les cas :
- Si -1 \leq \sin(n) \leq 0 alors : 0 \leq \sin(n)^2 \leq 1 , par composition par la fonction carré décroissante sur [-1;0].
- Si 0 \leq \sin(n) \leq 1 alors : 0 \leq \sin(n)^2 \leq 1 , par composition par la fonction carré croissante sur [0;1].
Ainsi on a :
0 \leq \sin(n)^2 \leq 1
\Leftrightarrow 0 \leq u_n \leq \dfrac{1}{n} pour tout n\geq 1
Or :
- \lim\limits_{x \rightarrow + \infty } 0 = 0
- \lim\limits_{x \rightarrow + \infty } \dfrac{1}{n} = 0
Ainsi, d'après le théorème des gendarmes (aussi appelé théorème d'encadrement), on a :
\lim\limits_{x \rightarrow + \infty } u_n = 0
On définit la suite (u_n)_n par :
u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } u_n ?
Pour déterminer la limite d'une suite définie explicitement, on peut utiliser le théorème des gendarmes. Il faut pour cela déterminer un encadrement de la suite.
(-1)^n peut prendre deux valeurs :
- (-1)^n = 1 si n est pair
- (-1)^n = -1 si n est impair.
Ainsi, pour tout entier naturel n :
-1 \leq (-1)^n \leq 1
\Leftrightarrow \dfrac{-1}{n} \leq u_n \leq \dfrac{1}{n} pour tout n\geq 1
Or :
- \lim\limits_{x \rightarrow + \infty } \dfrac{-1}{n} = 0
- \lim\limits_{x \rightarrow + \infty } \dfrac{1}{n} = 0
Ainsi, d'après le théorème des gendarmes (aussi appelé théorème d'encadrement), on a :
\lim\limits_{x \rightarrow + \infty } u_n = 0
On définit la suite (u_n )_n par :
u_n = \left(\dfrac{1}{n}\right)^n
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } u_n ?
Pour déterminer la limite d'une suite définie explicitement, on peut utiliser le théorème des gendarmes. Il faut pour cela déterminer un encadrement de la suite.
\dfrac{1}{n} est positive pour tout n \in \mathbb{N}^* .
De plus, pour tout n \geq 2 on a :
\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{1}{2}
Comme on s'intéresse à la limite de la suite quand n \rightarrow + \infty , on peut ne s'intéresser qu'au cas où n\geq 2 .
Ainsi pour tout n \geq 2 :
0 \leq \dfrac{1}{n} \leq \dfrac{1}{2}
\Leftrightarrow 0^n \leq u_n \leq \left( \dfrac{1}{2}\right)^n par croissance de la fonction x \mapsto x^n pour tout n \geq 2 (toutes les fonctions puissances sont croissantes sur [0;+\infty]).
Or :
- \lim\limits_{x \rightarrow + \infty } 0 = 0
- \lim\limits_{x \rightarrow + \infty } \left( \dfrac{1}{2}\right)^n = 0 car \dfrac{1}{2} < 1 . Il s'agit ici du terme général de la fonction géométrique de raison \dfrac{1}{2} et de premier terme égal à 0.
Ainsi, d'après le théorème des gendarmes (aussi appelé théorème d'encadrement), on a :
\lim\limits_{x \rightarrow + \infty } u_n = 0