Démontrer une inégalité par récurrenceExercice

Peut-on affirmer que 3^n \geq 1+2n pour tout n \geq 0 ? 

On rappelle que n! = 1 \times 2 \times ... \times (n−1) \times n.

Peut-on affirmer que 3^n \leq n! pour tout n \geq 7 ?

On définit la suite u de la façon suivante :
\begin{cases}u_0=5\\u_{n+1} = \dfrac{1}{5}u_n +3\end{cases}

Quel est le sens de variation de la suite u ?

On définit la suite u de la façon suivante : 
\begin{cases}u_0=2\\u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_n +\dfrac{1}{3}n+1\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}

Peut-on affirmer que u_n \leq n+3 pour tout n \geq 0  ?

On définit la suite u de la façon suivante :
\begin{cases}u_0=2\\u_{n+1} = \dfrac{1}{5}u_n +3\times 0.5^n\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}

Peut-on affirmer que u_n \geq \dfrac{15}{4}\times 0.5^n  pour tout n \geq 1  ?