Terminale ES 2016-2017

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Etudier une suite à l'aide d'une suite auxiliaire

Pour déterminer l'expression du terme général d'une suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\), l'énoncé invite parfois à utiliser une suite auxiliaire \(\displaystyle{\left( v_n \right)}\) définie en fonction de la suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\).

Soit \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) la suite définie par :

\(\displaystyle{\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=3u_n-8 \end{cases}}\)

On considère la suite \(\displaystyle{\left( v_n \right)}\) définie par :

\(\displaystyle{\forall n\in \mathbb{N},\ v_n=u_n-4}\)

En utilisant la suite auxiliaire \(\displaystyle{\left( v_n \right)}\), déterminer l'expression du terme général de la suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) en fonction de n.

Etape 1

Montrer que la suite auxiliaire est arithmétique ou géométrique

On exprime \(\displaystyle{v_{n+1}}\) en fonction de \(\displaystyle{v_n}\) pour déterminer si la suite auxiliaire \(\displaystyle{\left( v_n \right)}\) est arithmétique ou géométrique. On précise alors sa raison et son premier terme.

Soit n un entier naturel :

\(\displaystyle{v_{n+1}=u_{n+1}-4}\)

On remplace \(\displaystyle{u_{n+1}}\) par son expression en fonction de \(\displaystyle{u_n}\) :

\(\displaystyle{v_{n+1}=3u_{n}-8-4}\)

On remplace \(\displaystyle{u_n}\) par son expression en fonction de \(\displaystyle{v_n}\) :

\(\displaystyle{v_{n+1}=3\left(v_{n}+4\right)-8-4}\)

\(\displaystyle{v_{n+1}=3v_n+12-8-4}\)

Ainsi, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{v_{n+1}=3v_n}\)

La suite \(\displaystyle{\left( v_n \right)}\) est donc une suite géométrique de raison 3. Son premier terme vaut :

\(\displaystyle{v_0=u_0-4=1-4=-3}\)

Etape 2

Donner le terme général de la suite auxiliaire

On donne l'expression de \(\displaystyle{v_n}\) en fonction de n. Deux cas se présentent :

  • Si la suite auxiliaire \(\displaystyle{\left( v_n \right)}\) est arithmétique de raison r, alors, pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{v_n=v_0+nr}\).
  • Si la suite auxiliaire \(\displaystyle{\left( v_n \right)}\) est géométrique de raison q, alors, pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{v_n=q^nv_0}\).

La suite \(\displaystyle{\left( v_n \right)}\) est géométrique de raison 3 et de premier terme \(\displaystyle{v_0=-3}\). Donc, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{v_n=-3\times3^n=-3^{n+1}}\)

Etape 3

En déduire le terme général de la suite

On remplace \(\displaystyle{v_n}\) par l'expression trouvée dans l'étape précédente dans la définition de la suite auxiliaire pour en déduire l'expression du terme général de la suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\).

Pour tout entier naturel n, on a :

\(\displaystyle{u_n=v_n+4}\)

On a donc, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_n=4-3^{n+1}}\)