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Démontrer une propriété par récurrence

Pour démontrer des propriétés sur les suites, en particulier sur les suites définies par récurrence, on est parfois conduit à utiliser la démonstration par récurrence. Si une propriété est vraie à un premier rang noté \(\displaystyle{n_0}\) et est héréditaire, alors elle est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à \(\displaystyle{n_0}\).

Soit \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) la suite définie par son premier terme \(\displaystyle{u_0=1}\) et pour tout entier naturel n par :

\(\displaystyle{u_{n+1}=u_n^2+\dfrac{1}{2}}\)

Montrer que l'on a, pour tout entier n, \(\displaystyle{u_n \geqslant 1}\).

Etape 1

Identifier la propriété à démontrer

On précise que l'on va démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n (ou pour tout entier \(\displaystyle{n\geqslant n_0}\) ), une propriété \(\displaystyle{P\left( n \right)}\) est vraie.

On montre par récurrence que pour tout entier naturel n, on a \(\displaystyle{u_n\geqslant 1}\).

Etape 2

Écrire l'initialisation

On démontre que la propriété est vérifiée au premier rang demandé (en général il s'agit du rang \(\displaystyle{n=0}\) ).

Comme \(\displaystyle{u_0=1}\), on a bien :

\(\displaystyle{u_0\geqslant 1}\)

La propriété est initialisée.

Etape 3

Écrire l'hérédité

On fixe un entier naturel n quelconque. On suppose la propriété vraie à ce rang n. On montre alors que la propriété est vraie au rang \(\displaystyle{n+1}\). Pour cela, on utilise :

  • L'hypothèse de récurrence : on a supposé \(\displaystyle{P\left( n \right)}\) vraie.
  • Une relation de récurrence : lorsqu'une suite est définie par récurrence, il existe un lien entre l'expression du rang \(\displaystyle{n+1}\) de la suite et celle du rang n.

Soit n un entier naturel, on suppose que \(\displaystyle{u_n\geqslant 1}\). On montre alors que \(\displaystyle{u_{n+1}\geqslant 1}\).

La relation de récurrence est la suivante :

\(\displaystyle{u_{n+1}=u_n^2+\dfrac12}\)

Or, on a :

\(\displaystyle{u_n\geqslant1}\)

Donc :

\(\displaystyle{u_n^2\geqslant 1}\)

Et, comme \(\displaystyle{\dfrac12 \geqslant 0}\) :

\(\displaystyle{u_n^2+\dfrac12\geqslant 1}\)

Donc :

\(\displaystyle{u_{n+1}\geqslant1}\)

La propriété est héréditaire.

Etape 4

Écrire la conclusion

La propriété est initialisée et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier naturel n (éventuellement \(\displaystyle{n\geqslant n_0}\) en fonction du rang de l'initialisation).

La propriété est initialisée et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier naturel n.

Ainsi, pour tout entier naturel n : \(\displaystyle{u_n\geqslant 1}\).

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