Terminale S 2016-2017
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Terminale S 2016-2017

Démontrer une propriété par récurrence

Pour démontrer des propriétés sur les suites, en particulier sur les suites définies par récurrence, on est parfois conduit à utiliser la démonstration par récurrence. Si une propriété est vraie à un premier rang noté n0 et est héréditaire, alors elle est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n0.

Soit (un) la suite définie par son premier terme u0=1 et pour tout entier naturel n par :

un+1=u2n+12

Montrer que l'on a, pour tout entier n, un1.

Etape 1

Identifier la propriété à démontrer

On précise que l'on va démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n (ou pour tout entier nn0 ), une propriété P(n) est vraie.

On montre par récurrence que pour tout entier naturel n, on a un1.

Etape 2

Écrire l'initialisation

On démontre que la propriété est vérifiée au premier rang demandé (en général il s'agit du rang n=0 ).

Comme u0=1, on a bien :

u01

La propriété est initialisée.

Etape 3

Écrire l'hérédité

On fixe un entier naturel n quelconque. On suppose la propriété vraie à ce rang n. On montre alors que la propriété est vraie au rang n+1. Pour cela, on utilise :

  • L'hypothèse de récurrence : on a supposé P(n) vraie.
  • Une relation de récurrence : lorsqu'une suite est définie par récurrence, il existe un lien entre l'expression du rang n+1 de la suite et celle du rang n.

Soit n un entier naturel, on suppose que un1. On montre alors que un+11.

La relation de récurrence est la suivante :

un+1=u2n+12

Or, on a :

un1

Donc :

u2n1

Et, comme 120 :

u2n+121

Donc :

un+11

La propriété est héréditaire.

Etape 4

Écrire la conclusion

La propriété est initialisée et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier naturel n (éventuellement nn0 en fonction du rang de l'initialisation).

La propriété est initialisée et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier naturel n.

Ainsi, pour tout entier naturel n : un1.

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