Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Lever une indétermination

Méthode 1

En factorisant par le terme de plus haut degré

Pour déterminer la limite d'une suite dont le terme général s'exprime sous la forme un=f(n), où f est une fonction polynôme ou une fonction rationnelle (quotient de fonctions polynômes), on peut rencontrer une des deux formes indéterminées suivantes : et +. On utilise alors la factorisation par le terme de plus haut degré pour lever l'indétermination.

Soit (un) la suite définie par :

n, un=n3+n13n3+n2+2

Déterminer la limite de la suite (un).

Etape 1

Factoriser chaque polynôme par son terme de plus haut degré

On factorise chaque polynôme par son terme de plus haut degré.

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

un=n3+n13n3+n2+2

Soit :

un=n3(1+1n21n3)n3(3+1n+2n3)

Etape 2

Simplifier les termes factorisés dans le cas d'un quotient de polynômes

Si le terme général de la suite étudiée est un quotient de polynômes, on peut simplifier le numérateur et le dénominateur en s'intéressant aux termes de plus haut degré par lesquels on vient de factoriser.

En simplifiant numérateur et dénominateur on obtient, pour tout entier naturel n :

un=1+1n21n33+1n+2n3

Etape 3

Déterminer la limite

On détermine la limite de la suite en utilisant les limites usuelles et les opérations sur les limites.

On a :

  • limn+1n2=0
  • limn+1n3=0

Donc, par somme :

limn+(1+1n21n3)=1

De plus, on a :

  • limn+1n=0
  • limn+2n3=0

Donc par somme :

limn+(3+1n+2n3)=3

Finalement, par quotient :

limnun=13

Méthode 2

En utilisant la quantité conjuguée

Cette méthode s'emploie en particulier pour déterminer la limite d'une suite dont le terme général est défini comme somme ou différence de racines carrées.

Soit (un) la suite définie par :

n, un=n2+1n21

Déterminer la limite de la suite (un).

Etape 1

Multiplier et diviser par la quantité conjuguée

  • Si l'expression est de type (ab), on la multiplie et la divise par sa quantité conjuguée (a+b).
  • Si l'expression est de type (a+b), on la multiplie et la divise par sa quantité conjuguée (ab).

Cette expression présente une forme indéterminée de la forme +. On multiplie et on divise par la quantité conjuguée. On obtient :

n,un=(n2+1n21)(n2+1+n21)(n2+1+n21)

Etape 2

Développer et réduire le numérateur et le dénominateur

On sait que, pour tous réels a et b :

(ab)(a+b)=a2b2

Ainsi, pour tous réels a et b avec a+b0 :

ab=(ab)(a+b)a+b=a2b2a+b

On obtient, pour tout n entier naturel non nul :

un=n2+1(n21)(n2+1+n21)

Soit :

un=2(n2+1+n21)

Etape 3

Déterminer la limite

Si l'indétermination est levée, on peut déterminer la limite à l'aide des limites usuelles et des règles d'opération. Sinon, il reste à factoriser par les termes de plus haut degré.

Il n'y a plus d'indétermination. On a :

  • limn+(n2+1)=+
  • limN+N=+

Par composition :

limn+n2+1=+

De même, on a :

limn+n21=+

Ainsi, par somme :

limn+(n2+1+n21)=+

Donc par quotient :

limn+un=0

Méthode 3

En utilisant les théorèmes de comparaison

Pour montrer qu'une suite tend vers l'infini, on peut utiliser les théorèmes de comparaison.

Soit (un) la suite définie par :

n,un=nsin(n2)

Déterminer la limite de cette suite.

Etape 1

Majorer ou minorer l'expression par celle d'une autre suite

On essaie de minorer le terme général de la suite par celui d'une autre suite qui tend vers + ou de la majorer par le terme général d'une autre suite qui tend vers .

Soit n un entier naturel, on a :

sin(n2)1

Soit :

sin(n2)1

En ajoutant n à chaque membre de l'inégalité, on obtient :

nsin(n2)n1

On remarque que l'on a :

limn(n1)=+

Etape 2

Conclure sur la limite à l'aide des théorèmes de comparaison

On conclut sur la limite de la suite :

  • Si le terme général est minoré par celui d'une suite qui tend vers +, alors la suite tend aussi vers +.
  • Si le terme général est majoré par celui d'une suite qui tend vers , alors la suite tend aussi vers .

On a :

  • Pour tout entier naturel n : nsin(n2)n1
  • limn(n1)=+

On peut conclure, d'après les théorèmes de comparaison :

limn+[nsin(n2)]=+

C'est-à-dire :

limn+un=+

Méthode 4

En utilisant le théorème des gendarmes

Pour montrer qu'une suite admet une limite finie, on peut utiliser le théorème des gendarmes.

Déterminer la limite suivante :

limn+sin(n)n

Etape 1

Déterminer un encadrement de l'expression par deux suites de même limite

On encadre l'expression dont on cherche la limite par celle de deux suites ayant la même limite.

Soit n un entier naturel non nul :

1sin(n)1

En multipliant par 1n, qui est strictement positif, on obtient :

1nsin(n)n1n

On remarque que l'on a :

  • limn+1n=0
  • limn+1n=0
Etape 2

Conclure à l'aide du théorème des gendarmes

On peut conclure grâce au théorème des gendarmes que l'expression admet pour limite celle commune aux deux suites encadrantes.

On sait que :

  • Pour tout entier n strictement positif : 1nsin(n)n1n
  • limn+1n=0
  • limn+1n=0

D'après le théorème des gendarmes, on peut donc conclure :

limn+sin(n)n=0

pub

Demandez à vos parents de vous abonner

Vous ne possédez pas de carte de crédit et vous voulez vous abonner à Kartable.

Vous pouvez choisir d'envoyer un SMS ou un email à vos parents grâce au champ ci-dessous. Ils recevront un récapitulatif de nos offres et pourront effectuer l'abonnement à votre place directement sur notre site.

J'ai une carte de crédit

Vous utilisez un navigateur non compatible avec notre application. Nous vous conseillons de choisir un autre navigateur pour une expérience optimale.