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  4. Exercice type bac : Amérique du Nord 2024, Etude d'une suite d'intégrales

Amérique du Nord 2024, Etude d'une suite d'intégrales Exercice type bac

Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.

Dernière modification : 12/05/2025 - Conforme au programme 2024-2025

Pour tout entier naturel n, on considère les intégrales suivantes :

I_n=\int_{0}^{\pi} e^{-nx}\sin(x) \ \mathrm dx et J_n=\int_{0}^{\pi} e^{-nx}\cos(x) \ \mathrm dx

a

Quelle est la valeur de I_0 ?

a

Pour tout entier naturel n, que peut-on dire du signe de I_n ?

b

Pour tout entier naturel n, que peut-on dire de I_{n+1}-I_n ?

c

Que peut-on dire de la suite \left( I_n \right) ?

a

Quelle inégalité est vraie pour tout entier naturel n ?

b

Pour tout entier naturel n \geqslant 1, combien vaut \int_{0}^{\pi} e^{-nx} \ \mathrm dx ?

c

Quelle est la limite de la suite (I_n) ?

a

En intégrant par parties l'intégrale (I_n), quelle égalité peut-on établir pour tout entier naturel n \geqslant 1 ?

b

En intégrant par parties d'une manière différente l'intégrale (I_n), quelle égalité peut-on établir pour tout entier naturel n \geqslant 1 ?

c

Pour tout entier naturel n \geqslant 1, quelle est la valeur de I_n ?

a

On souhaite obtenir le rang n à partir duquel la suite (I_n) devient inférieure à 0,1.

Avec quelle instruction doit-on compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous ?

-

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