Comment peut-on minorer l'intégrale \int_{0}^{2}e^{x^2} \mathrm{d}x ?
On a :
\int_{0}^{2}e^{x^2} \mathrm{d}x
On sait que pour tout x \in \mathbb{R}, \exp(x) \geq x+1, grâce à la convexité de la fonction exponentielle
Donc :
\forall x \in [0;2], \exp\left(x^2\right)\geqslant x^2+1
Donc :
\int_{0}^{2} \exp\left(x^2\right)\ \mathrm dx \geqslant \int_{0}^{2} x^2+1 \ \mathrm dx
Or, \int_{0}^{2}x^2+1 \mathrm{d}x=\left[\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}\right]_{0}^{2}.
\int_{0}^{2}x^2+1 \mathrm{d}x=\dfrac{8}{3}+2-0
\int_{0}^{2}1+x^2 \mathrm{d}x=\dfrac{14}{3}
Donc \int_{0}^{2}e^{x^2} \mathrm{d}x\geq \dfrac{14}{3}.
Comment peut-on minorer l'intégrale \int_{0}^{\pi}e^{\sin(x)} \mathrm{d}x ?
On a :
\int_{0}^{\pi}e^{\sin(x)} \mathrm{d}x
On sait que :
\forall X\in\mathbb{R}, \exp(X) \geq X +1, par convexité de la fonction exponentielle.
On en déduit :
\forall x \in [0;\pi], e^{\sin(x)} \geq \sin(x)+1
Donc :
\int_{0}^{\pi}e^{\sin(x)} \mathrm{d}x\geq \int_{0}^{\pi}\sin(x)+1 \mathrm{d}x
Or :
\int_{0}^{\pi}\sin(x)+1 \mathrm{d}x=\left[-\cos(x)+x\right]_{0}^{\pi}
\int_{0}^{\pi}\sin(x)+1 \mathrm{d}x=1+\pi-(-1+0)
\int_{0}^{\pi}\sin(x)+1 \mathrm{d}x=2+\pi
Donc \int_{0}^{\pi}e^{\sin(x)} \mathrm{d}x\geq 2+\pi.
Comment peut-on minorer l'intégrale \int_{1}^{2}-\ln\left(4x^2\right)-\ln\left(12x\right) \mathrm{d}x ?
On a :
\int_{1}^{2}-\ln\left(4x^2\right)-\ln\left(12x\right) \mathrm{d}x
La fonction \ln étant concave sur ]0;+\infty[, on a :
\ln(X)\leq X-1 pour tout réel X>0.
On en déduit :
-\ln(X)\geq -X+1 pour tout réel X>0
Donc :
Pour tout réel x\in [1;2], -ln\left(4x^2\right)-\ln\left(12x\right)\geq -4x^2+1-12x+1.
Pour tout réel x\in [1;2], -ln\left(4x^2\right)-\ln\left(12x\right)\geq -4x^2-12x+2.
Donc :
\int_{1}^{2}-\ln\left(4x^2\right)-\ln\left(12x\right) \mathrm{d}x\geq \int_{1}^{2}-4x^2-12x+2 \mathrm{d}x
Or :
\int_{1}^{2}-4x^2-12x+2 \mathrm{d}x=\left[\dfrac{-4x^3}{3}-6x^2+2x\right]_{1}^{2}
\int_{1}^{2}-4x^2-12x+2 \mathrm{d}x=\dfrac{-92}{3}-\left(\dfrac{-16}{3}\right)
\int_{1}^{2}-4x^2-12x+2 \mathrm{d}x=\dfrac{-76}{3}
Donc \int_{1}^{2}-\ln\left(4x^2\right)-\ln\left(12x\right) \mathrm{d}x\geq \dfrac{-76}{3}.
Comment peut-on minorer l'intégrale \int_{0}^{1} \exp(3x^2) + 2x \ \mathrm dx ?
On a :
\int_{0}^{1} \exp(3x^2) + 2x \ \mathrm dx
On sait que :
\forall u\in\mathbb{R} , exp(u) \geqslant u+1 par convexité de la fonction exponentielle.
Donc :
\forall x \in [0;1] , \exp(3x^2) \geqslant 3x^2 +1
\forall x \in [0;1], \exp(3x^2) +2x \geqslant 3x^2 +2x +1
Donc :
\int_{0}^{1} \exp(3x^2)+2x \ \mathrm dx \geqslant \int_{0}^{1} 3x^2+2x+1\ \mathrm dx
Or :
\int_{0}^{1} 3x^2 +2x+1\ \mathrm dx = [x^3+x^2+x]_0 ^{1} = 1+1 +1= 3
Donc \int_{0}^{1} \exp(3x^2) + 2x \ \mathrm dx \geqslant 3.
Comment peut-on minorer l'intégrale \int_{10}^{100} 3\cos^2(x) + 4x \ \mathrm dx ?
On a :
\int_{10}^{100} 3\cos^2(x) + 4x \ \mathrm dx
On sait que :
\forall x \in [10;100] , \cos^2(x) \geqslant 0
Donc :
\forall x \in [10;100], 3\cos^2(x) + 4x \geqslant 4x
Donc :
\int_{10}^{100} 3\cos^2(x) + 4x\ \mathrm dx \geqslant \int_{10}^{100} 4x\ \mathrm dx
Or :
\int_{10}^{100} 4x\ \mathrm dx = [2x^2]_{10} ^{100} = 20\ 000-200 = 19\ 800
Donc \int_{10}^{100} 3\cos^2(x) + 4x \ \mathrm dx \geqslant 19\ 800.